Contenu du cours

Les Bases de la Théorie des Probabilités

1. Concepts de Base de la Théorie des Probabilités

Expérience Stochastique et Événement Aléatoire Probabilité et Ses Propriétés Probabilité Géométrique Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Probabilité Géométrique Indépendance et Incompatibilité des Événements Aléatoires Probabilité Conditionnelle

2. Probabilité des Événements Complexes

Principe d'Inclusion-Exclusion Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Principe d'Inclusion-Exclusion La Règle de Multiplication des Probabilités Loi de la Probabilité Totale Théorème de Bayes Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Théorème de Bayes

3. Distributions Discrètes Couramment Utilisées

Distribution Binomiale Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Binomiale Distribution Multinomiale Distribution Géométrique Distribution de Poisson Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution de Poisson

4. Distributions Continues Couramment Utilisées

Distribution Uniforme Continue Distribution Exponentielle Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Exponentielle Distribution Gaussienne Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Gaussienne

5. Covariance et Corrélation

Qu'est-ce Que la Covariance ?Qu'est-ce Que la Corrélation ?Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Corrélation

Probabilité Géométrique

Dans le chapitre précédent, nous avons examiné la règle classique de dénombrement des probabilités. Selon cette règle, la probabilité est calculée comme le rapport entre le nombre d'issues qui nous intéressent et le nombre de toutes les issues possibles. Mais que faire si l'on ne peut pas compter le nombre d'issues ?
Par exemple, supposons que vous tiriez au hasard sur une cible et que vous souhaitiez déterminer la probabilité de toucher la zone centrale de cette cible.

Dans ce cas, vous ne pouvez pas simplement compter toutes les issues possibles car le nombre de points que vous pouvez atteindre est infini. En conséquence, nous devrons utiliser la probabilité géométrique.
Le principe de calcul des probabilités géométriques est similaire à la règle classique : nous supposons toujours que toutes les issues élémentaires de l'expérience sont également probables, mais au lieu de compter le nombre d'issues, nous prenons en compte leur mesure géométrique.

La mesure géométrique est déterminée en fonction de la dimension de l'espace des événements élémentaires:

si l'espace est unidimensionnel (ligne), alors la longueur de la ligne est utilisée comme mesure;
si bidimensionnel (plan), alors l'aire de la figure sur le plan est utilisée comme mesure;
si tridimensionnel (une figure dans l'espace), alors nous utilisons le volume comme mesure.

Ainsi, pour résoudre le problème avec une cible, nous pouvons utiliser le rapport entre l'aire de la zone d'intérêt et l'aire totale de la cible. Supposons que la cible entière soit un cercle de rayon 2 et que la zone d'intérêt soit un cercle central de rayon 1. Alors, la probabilité d'atteindre la région centrale peut être déterminée comme suit:


              12345678910111213141516171819202122232425262728293031
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the radii of the circles
r_large = 2  # Radius of the larger circle
r_small = 1  # Radius of the smaller circle

# Calculate the areas
area_large = np.pi * r_large**2  # Area of the larger circle
area_small = np.pi * r_small**2  # Area of the smaller circle

# Calculate the probability
probability = area_small / area_large  # Probability of shooting into the smaller circle

# Plot the circles
fig, ax = plt.subplots()  # Create a new figure and axis object
circle_large = plt.Circle((0, 0), r_large, color='blue', alpha=0.3)  # Create a circle representing the larger circle
circle_small = plt.Circle((0, 0), r_small, color='red', alpha=0.5)  # Create a circle representing the smaller circle
ax.add_artist(circle_large)  # Add the larger circle to the plot
ax.add_artist(circle_small)  # Add the smaller circle to the plot
ax.set_aspect('equal')  # Set the aspect ratio of the plot to be equal
ax.set_xlim(-r_large-1, r_large+1)  # Set the x-axis limits
ax.set_ylim(-r_large-1, r_large+1)  # Set the y-axis limits
ax.set_xlabel('X')  # Set the x-axis label
ax.set_ylabel('Y')  # Set the y-axis label
ax.set_title('Probability of Shooting into the Circle')  # Set the title of the plot
plt.legend(['Target', 'Area to shoot'])  # Add a legend to the plot
plt.grid(True)  # Add a grid to the plot
plt.show()  # Display the plot

print(f'The probability of shooting into the smaller circle is {probability:.4f}')  # Print the probability

Tout était clair ?

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Section 1. Chapitre 3