Dérivée de la Fonction

Une dérivée mesure le taux auquel une fonction change par rapport à sa variable indépendante. Pour une fonction f: X -> Y, la dérivée peut être calculée comme suit :

En termes simples, la dérivée d'une fonction représente à quel point cette fonction change à un point donné. Elle nous donne le taux auquel la valeur de la fonction change par rapport à son entrée (généralement notée x)

Nous pouvons calculer la dérivée de la fonction en utilisant la bibliothèque Python sympy :


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import sympy as sp

# Create symbolic variable `x`
x = sp.symbols('x')
# Define the function
f = x**3 - 2*x**2 - 1

df_dx = sp.diff(f, x)  # Calculate the derivative

# Evaluate the derivatives at specific point
point = {x:2}
df_dx_value = df_dx.subs(point)

print(f'Derivative with respect to x: {df_dx}')
print(f'Derivative in point {point} is : {df_dx_value}')

Décrivons le code ci-dessus :

Tout d'abord, nous utilisons x = sp.symbols('x') pour créer une variable symbolique x qui représente l'argument de la fonction ;
La méthode sp.diff(function, variable) est utilisée pour calculer la fonction df_dx qui représente la dérivée de la fonction f ;
Enfin, nous utilisons la méthode df_dx.subs(point) pour calculer la valeur de la dérivée au point x=2. La variable point est un dictionnaire où nous stockons les noms et valeurs des variables.

Comment la dérivée peut-elle être interprétée dans des tâches réelles ?

La dérivée a différentes interprétations dans différents domaines de la science. Nommons-en quelques-unes :
Voici les interprétations mathématiques, physiques et géométriques des dérivées :

Interprétation mathématique : La dérivée d'une fonction en un point représente le taux de changement de la fonction en ce point. Elle fournit des informations sur la façon dont la fonction change, qu'elle augmente ou diminue, et la pente de la courbe à ce point particulier :
- si et seulement si la dérivée est positive, alors la fonction augmente au point choisi ;
- si et seulement si la dérivée est négative, alors la fonction diminue au point choisi ;
- si et seulement si la dérivée égale zéro, alors la fonction ne change pas au point choisi.

Remarque

Toutes les déclarations ci-dessus sont vraies uniquement pour les fonctions pour lesquelles la dérivée existe à tout point du domaine.

Interprétation physique : En physique, la dérivée a diverses interprétations selon le contexte. Par exemple :
- Vitesse : La dérivée de la fonction de position par rapport au temps donne la vitesse, qui représente le taux de changement de position par rapport au temps.
- Accélération : La dérivée de la fonction de vitesse par rapport au temps donne l'accélération, qui représente le taux de changement de vitesse par rapport au temps.

Interprétation géométrique : La dérivée a également une interprétation géométrique en termes de lignes tangentes et de pentes. En tout point d'une courbe, la dérivée donne la pente de la ligne tangente à la courbe en ce point. La pente de la ligne tangente indique le taux auquel la courbe change à ce point précis.

Ces interprétations mettent en évidence les concepts fondamentaux et les applications des dérivées en mathématiques, physique et géométrie, fournissant des aperçus sur le comportement des fonctions et des phénomènes physiques.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 3. Chapitre 1