Somme des Éléments de la Série

Quelle est la somme de la série?

La somme d'une série fait référence à l'addition des valeurs dans la séquence. Il y a deux situations à considérer : trouver la somme d'un nombre fini d'éléments ou la somme de tous les éléments de la séquence. Selon la situation, différentes approches sont utilisées pour calculer la somme.

Sommes finies

Si nous travaillons avec des sommes finies, nous pouvons parcourir tous les éléments pour calculer la somme. De plus, certains types de séquences ont des formules prêtes à l'emploi pour calculer la somme.
Par exemple, la somme de n éléments d'une progression arithmétique peut être calculée comme suit :


              1234567891011121314151617181920212223242526
            
def sum_arithmetic_progression_formula(a, d, n):
    # Calculate the sum of an arithmetic progression using the formula
    sum_formula = (n / 2) * (2 * a + (n - 1) * d)  # Sum formula for arithmetic progression
    return sum_formula

def sum_arithmetic_progression_loop(a, d, n):
    # Calculate the sum of an arithmetic progression using a loop
    progression_sum = 0  # Initialize the sum of the arithmetic progression
    current_term = a  # Set the current term to the first term
    for _ in range(n):  # Loop through each term in the arithmetic progression
        progression_sum += current_term  # Add the current term to the sum
        current_term += d  # Move to the next term by adding the common difference
    return progression_sum

# Example usage
a = 2  # First term
d = 3  # Common difference
n = 5  # Number of terms in the arithmetic progression

# Calculate the sum using the formula
sum_formula = sum_arithmetic_progression_formula(a, d, n)
print(f'Sum using formula is {sum_formula}')

# Calculate the sum using a loop
sum_loop = sum_arithmetic_progression_loop(a, d, n)
print(f'Sum using loop is {sum_loop}')

Sommes infinies

Dans le cas de la somme de tous les éléments de la séquence, nous rencontrerons certains problèmes. Par exemple, considérons une séquence comme celle-ci :

Regardons la somme des 10000 premiers éléments de la séquence. Nous imprimerons également les sommes partielles de 1000, 2000, 3000, etc. éléments.


              123456789101112131415161718
            
def calculate_sequence_sum():
    # Initialize variables
    sequence_sum = 0  # Initialize the sum of the sequence
    partial_sums = []  # Initialize a list to store partial sums

    # Loop through elements in the sequence
    for n in range(1, 10001):
        term = 1 / n  # Calculate the term of the sequence
        sequence_sum += term  # Add the term to the sequence sum

        # Check if current index is a multiple of 1000
        if n % 1000 == 0:
            partial_sums.append(sequence_sum)  # Store the partial sum
            # Print partial sum up to the current index
            print(f'Partial sum of elements 1 to {n}: {sequence_sum:.5f}')

# Call the function to calculate the sequence sum
calculate_sequence_sum()

Nous pouvons voir que les sommes partielles augmentent constamment, et donc nous ne pouvons pas calculer la somme de tous les éléments - elle sera infinie. Cette conclusion semble assez logique - plus nous résumons d'éléments, plus la somme est grande. Mais puisque, formellement, cette séquence peut être continuée pendant un temps arbitrairement long, la somme sera arbitrairement grande.

Mais en fait, ce n'est pas si simple. Regardons une autre séquence :


              123456789101112131415
            
def calculate_sequence_sum():

    sequence_sum = 0
    partial_sums = []

    for n in range(1, 10001):
        term = 1 / (n ** 2)
        sequence_sum += term

        if n % 1000 == 0:
            partial_sums.append(sequence_sum)
            print(f'Partial sum of elements 1 to {n}: {sequence_sum:.5f}')


calculate_sequence_sum()

Ici, nous voyons que les sommes partielles sont identiques jusqu'à 3 chiffres, et la somme ne croît pas si rapidement avec l'augmentation des éléments.
Cela s'explique par le fait que les éléments d'ordre élevé sont extrêmement petits et finissent par cesser d'affecter significativement la somme finale.

Sommes convergentes de la série

Ainsi, il existe une certaine classe de séquences pour lesquelles nous pouvons calculer la somme de tous les éléments, qui sera finie. Cette propriété est également appelée convergence de la somme d'une série numérique.

Note

En pratique, la somme de la séquence suivante est souvent utilisée : S(i) = 1 / i^a. À condition que a soit supérieur à 1, la somme infinie de cette séquence converge et est égale à un certain nombre fini.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

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