Système d'Équations Linéaires

Un système d'équations linéaires (SEL) est un ensemble d'équations où chaque équation est une combinaison linéaire de variables. Le but est de trouver une solution qui satisfait simultanément toutes les équations.

Exemple

Regardons l'exemple d'un système d'équations linéaires :

Nous avons 3 variables inconnues x, y et z et avons 3 équations qui incluent toutes ces variables.

Résoudre le système

Comment pouvons-nous résoudre le système ? Tout d'abord, réécrivons-le sous forme matricielle :

Exprimer le système d'équations linéaires sous forme matricielle nous offre une approche simple pour résoudre le système en utilisant la matrice inverse :

Pour utiliser cette approche, nous devons être sûrs que la matrice A peut être inversée :
La matrice carrée A peut être inversée si et seulement si son déterminant est non nul.

Exemple 1


              1234567891011121314151617181920
            
import numpy as np

# Define the coefficients matrix A
A = np.array([[2, 3, -1],
              [4, -1, 2],
              [1, 2, -3]])

# Define the constants vector н
y = np.array([10, 4, -1])

# Check the determinant of matrix A
print(f'Determinant is {round(np.linalg.det(A), 3)}')

# Calculating inversed matrix
A_inv = np.linalg.inv(A)
# Finding solution using inversed matrix
x = np.dot(A_inv, y)
    
# Print the solution
print(f'Solution: {np.round(x, 3)}')

Nous avons trouvé la solution en utilisant la matrice inversée.

Exemple 2


              1234567891011121314151617
            
import numpy as np

# Define the coefficients matrix A
A = np.array([[1, 2, 3],
              [3, 1, 4],
              [4, 3, 7]])

# Define the constants vector b
b = np.array([10, 20, 30])

# Check the determinant of matrix A
det_A = np.linalg.det(A)

# Print the determinant value
print(f'Determinant of A: {det_A}')

A_inv = np.linalg.inv(A)

Le code ci-dessus produit une erreur - la matrice est singulière (a un déterminant nul) donc nous ne pouvons pas résoudre le système d'équations.
L'explication de cela est assez simple : les lignes de la matrice sont linéairement dépendantes (la troisième ligne est la somme des deux premières). En conséquence, la troisième équation ne fournit aucune information supplémentaire, et nous nous retrouvons avec un système de 3 variables mais seulement 2 équations uniques. En conséquence, un tel système n'a soit pas de solutions, soit il y a beaucoup de solutions.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 2. Chapitre 7