Valeurs Propres et Vecteurs Propres

Les vecteurs propres et les valeurs propres sont des concepts liés aux transformations linéaires et aux matrices. Un vecteur propre v est un vecteur non nul qui résulte en une version mise à l'échelle de lui-même lorsqu'il est multiplié par une matrice donnée. La valeur propre λ associée à un vecteur propre représente la valeur scalaire par laquelle le vecteur propre est mis à l'échelle.

Si nous avons une matrice A et fournissons la transformation linéaire A * v, où v est le vecteur propre de la matrice A, nous obtiendrons le vecteur avec la même direction mais avec une longueur différente :

Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

Pour trouver les vecteurs propres et les valeurs propres correspondantes d'une matrice, nous pouvons utiliser la méthode np.linalg.eig():


              123456789101112
            
import numpy as np

# Define a square matrix
matrix = np.array([[2, 1, 3], [1, 3, 0], [3, 0, 4]])

# Calculate eigenvectors and eigenvalues
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)

# Print the eigenvalues and eigenvectors
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(f'Eigenvalue {i+1}: {eigenvalues[i]:.3f}')
    print(f'Eigenvector {i+1}: {np.round(eigenvectors[:, i], 3)}\n')

Dans cet exemple, nous créons une matrice matrix 3x3. Nous utilisons ensuite la méthode np.linalg.eig() de NumPy pour calculer les valeurs propres et les vecteurs propres. La fonction renvoie deux tableaux : eigenvalues contient les valeurs propres, et eigenvectors contient les vecteurs propres correspondants.

Applications pratiques

Les valeurs propres et les vecteurs sont souvent utilisés pour résoudre divers problèmes appliqués. L'un de ces problèmes est le problème de la réduction de dimensionnalité pour lequel l'algorithme PCA est utilisé : cet algorithme est basé sur l'utilisation des valeurs propres de la matrice de covariance des caractéristiques.

Note

La réduction de dimensionnalité est un problème fondamental en analyse de données et en apprentissage automatique, visant à réduire le nombre de caractéristiques ou de variables dans un ensemble de données tout en préservant autant d'informations pertinentes que possible.

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Section 2. Chapitre 9