Partielle Ableitung der Funktion

Partielle Ableitung

Wenn wir über Funktionen mit mehreren Argumenten sprechen, müssen wir das Konzept der partiellen Ableitung berücksichtigen. Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion in Bezug auf eine ihrer Variablen ändert, während die anderen Variablen konstant gehalten werden. Es ist ein Konzept, das in der mehrdimensionalen Analysis verwendet wird, um die Änderungsrate einer Funktion in mehreren Dimensionen zu analysieren.
Wenn wir eine Funktion y = f(x1, x2, ..., xn) haben, wird die partielle Ableitung in Bezug auf das Argument xi wie folgt definiert:


              12345678910111213141516171819202122232425262728
            
import sympy as sp

# Define the variables
x, y = sp.symbols('x y')

# Define the function
f = x**3 + 2*x*y + y**2 + x - 3*y

# Calculate the partial derivative with respect to x
df_dx = sp.diff(f, x)

# Calculate the partial derivative with respect to y
df_dy = sp.diff(f, y)

# Define the point at which to evaluate the partial derivatives
point = {x: 2, y: 3}

# Evaluate the partial derivatives at the given point
df_dx_value = df_dx.subs(point)
df_dy_value = df_dy.subs(point)

# Print the partial derivatives
print(f'Partial derivative with respect to x: {df_dx}')
print(f'Partial derivative with respect to y: {df_dy}')

# Print the partial derivatives at the given point
print(f'Partial derivative with respect to x at point {point}: {df_dx_value}')
print(f'Partial derivative with respect to y at point {point}: {df_dy_value}')

Höhere Ordnungsableitungen

Wir können auch Ableitungen und partielle Ableitungen höherer Ordnungen nehmen. Zum Beispiel ist die zweite (partielle) Ableitung definiert als die (partielle) Ableitung der ersten (partiellen) Ableitung einer Funktion, und so weiter:

Wir können die sympy-Bibliothek verwenden, um auch die Ableitung zweiter Ordnung zu berechnen:


              12345678910111213
            
import sympy as sp

# Define the variable
x, y = sp.symbols('x y')

# Define the function
f = 2*x**3 + sp.sin(x*y)

# Calculate the second-order derivative
d2f_dx2 = sp.diff(f, x, 2)

# Print the second-order derivative
print(f'Second-order partial derivative with respect to x is: {d2f_dx2}')

Wir haben d2f_dx2 = sp.diff(f, x, 2) verwendet, um die Ableitung zweiter Ordnung der Funktion f bezüglich des Arguments x zu berechnen.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 3. Kapitel 2