System Linearer Gleichungen

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist eine Menge von Gleichungen, bei denen jede Gleichung eine lineare Kombination von Variablen ist. Das Ziel ist es, eine Lösung zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Beispiel

Schauen wir uns das Beispiel eines linearen Gleichungssystems an:

Wir haben 3 unbekannte Variablen x, y und z und 3 Gleichungen, die alle diese Variablen enthalten.

Lösung des Systems

Wie können wir das System lösen? Zuerst schreiben wir es in Matrixform um:

Das Ausdrücken des linearen Gleichungssystems in Matrixform bietet uns einen direkten Ansatz zur Lösung des Systems unter Verwendung der inversen Matrix:

Um diesen Ansatz zu verwenden, müssen wir sicherstellen, dass die Matrix A invertierbar ist:
Die quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Beispiel 1


              1234567891011121314151617181920
            
import numpy as np

# Define the coefficients matrix A
A = np.array([[2, 3, -1],
              [4, -1, 2],
              [1, 2, -3]])

# Define the constants vector н
y = np.array([10, 4, -1])

# Check the determinant of matrix A
print(f'Determinant is {round(np.linalg.det(A), 3)}')

# Calculating inversed matrix
A_inv = np.linalg.inv(A)
# Finding solution using inversed matrix
x = np.dot(A_inv, y)
    
# Print the solution
print(f'Solution: {np.round(x, 3)}')

Wir haben die Lösung mit der inversen Matrix gefunden.

Beispiel 2


              1234567891011121314151617
            
import numpy as np

# Define the coefficients matrix A
A = np.array([[1, 2, 3],
              [3, 1, 4],
              [4, 3, 7]])

# Define the constants vector b
b = np.array([10, 20, 30])

# Check the determinant of matrix A
det_A = np.linalg.det(A)

# Print the determinant value
print(f'Determinant of A: {det_A}')

A_inv = np.linalg.inv(A)

Der obige Code erzeugt einen Fehler - die Matrix ist singulär (hat eine Determinante von null), daher können wir das Gleichungssystem nicht lösen.
Die Erklärung dafür ist ziemlich einfach: Die Matrixzeilen sind linear abhängig (die dritte Zeile ist die Summe der ersten beiden). Infolgedessen liefert die dritte Gleichung keine zusätzlichen Informationen, und wir haben ein System mit 3 Variablen, aber nur 2 eindeutigen Gleichungen. Daher hat ein solches System entweder keine Lösungen oder es gibt viele Lösungen.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 2. Kapitel 7