Summe der Elemente der Reihe

Was ist die Summe der Reihe?

Die Summe einer Reihe bezieht sich auf das Addieren der Werte in der Sequenz. Es gibt zwei Situationen zu berücksichtigen: die Summe einer endlichen Anzahl von Elementen oder die Summe aller Elemente in der Sequenz zu finden. Je nach Situation werden unterschiedliche Ansätze verwendet, um die Summe zu berechnen.

Endliche Summen

Wenn wir mit endlichen Summen arbeiten, können wir alle Elemente durchlaufen, um die Summe zu berechnen. Außerdem haben einige Arten von Sequenzen fertige Formeln zur Berechnung der Summe.
Zum Beispiel kann die Summe von n Elementen einer arithmetischen Progression wie folgt berechnet werden:


              1234567891011121314151617181920212223242526
            
def sum_arithmetic_progression_formula(a, d, n):
    # Calculate the sum of an arithmetic progression using the formula
    sum_formula = (n / 2) * (2 * a + (n - 1) * d)  # Sum formula for arithmetic progression
    return sum_formula

def sum_arithmetic_progression_loop(a, d, n):
    # Calculate the sum of an arithmetic progression using a loop
    progression_sum = 0  # Initialize the sum of the arithmetic progression
    current_term = a  # Set the current term to the first term
    for _ in range(n):  # Loop through each term in the arithmetic progression
        progression_sum += current_term  # Add the current term to the sum
        current_term += d  # Move to the next term by adding the common difference
    return progression_sum

# Example usage
a = 2  # First term
d = 3  # Common difference
n = 5  # Number of terms in the arithmetic progression

# Calculate the sum using the formula
sum_formula = sum_arithmetic_progression_formula(a, d, n)
print(f'Sum using formula is {sum_formula}')

# Calculate the sum using a loop
sum_loop = sum_arithmetic_progression_loop(a, d, n)
print(f'Sum using loop is {sum_loop}')

Unendliche Summen

Im Falle der Summierung absolut aller Elemente der Folge stoßen wir auf bestimmte Probleme. Betrachten Sie zum Beispiel eine Folge wie diese:

Betrachten wir die Summe der ersten 10000 Elemente der Folge. Wir werden auch die Teilsummen von 1000, 2000, 3000 usw. Elementen ausgeben.


              123456789101112131415161718
            
def calculate_sequence_sum():
    # Initialize variables
    sequence_sum = 0  # Initialize the sum of the sequence
    partial_sums = []  # Initialize a list to store partial sums

    # Loop through elements in the sequence
    for n in range(1, 10001):
        term = 1 / n  # Calculate the term of the sequence
        sequence_sum += term  # Add the term to the sequence sum

        # Check if current index is a multiple of 1000
        if n % 1000 == 0:
            partial_sums.append(sequence_sum)  # Store the partial sum
            # Print partial sum up to the current index
            print(f'Partial sum of elements 1 to {n}: {sequence_sum:.5f}')

# Call the function to calculate the sequence sum
calculate_sequence_sum()

Wir können sehen, dass die Teilsummen ständig zunehmen, und daher können wir die Summe aller Elemente nicht berechnen - sie wird unendlich sein. Diese Schlussfolgerung scheint ziemlich logisch - je mehr Elemente wir zusammenfassen, desto größer wird die Summe. Da diese Sequenz formal jedoch beliebig lange fortgesetzt werden kann, wird die Summe beliebig groß sein.

Aber tatsächlich ist es nicht so einfach. Schauen wir uns eine andere Sequenz an:


              123456789101112131415
            
def calculate_sequence_sum():

    sequence_sum = 0
    partial_sums = []

    for n in range(1, 10001):
        term = 1 / (n ** 2)
        sequence_sum += term

        if n % 1000 == 0:
            partial_sums.append(sequence_sum)
            print(f'Partial sum of elements 1 to {n}: {sequence_sum:.5f}')


calculate_sequence_sum()

Hier sehen wir, dass die Teilsummen bis zu 3 Stellen identisch sind und die Summe mit zunehmenden Elementen nicht so schnell wächst.
Dies wird dadurch erklärt, dass Elemente mit einer großen Ordnung extrem klein sind und schließlich aufhören, die endgültige Summe signifikant zu beeinflussen.

Konvergente Summen der Reihe

Es gibt also eine bestimmte Klasse von Sequenzen, für die wir die Summe aller Elemente berechnen können, die endlich sein wird. Diese Eigenschaft wird auch als Konvergenz der Summe einer Zahlenreihe bezeichnet.

Hinweis

In der Praxis wird oft die Summe der folgenden Sequenz verwendet: S(i) = 1 / i^a. Vorausgesetzt, dass a größer als 1 ist, konvergiert die unendliche Summe dieser Sequenz und ist gleich einer endlichen Zahl.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 1. Kapitel 3