**Eigenvektoren und Eigenwerte** sind Konzepte, die mit linearen Transformationen und Matrizen verbunden sind. Ein Eigenvektor `v` ist ein nicht-null Vektor, der bei der Multiplikation mit einer gegebenen Matrix zu einer **skalierten Version seiner selbst** führt. Der mit einem Eigenvektor verbundene Eigenwert `λ` repräsentiert den Skalarwert, um den der Eigenvektor skaliert wird.

Wenn wir eine Matrix `A` haben und die lineare Transformation `A * v` bereitstellen, wobei `v`- Eigenvektor der Matrix `A` ist, erhalten wir den Vektor mit der **gleichen Richtung**, aber mit **unterschiedlicher Länge**:

## Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Um Eigenvektoren und die entsprechenden Eigenwerte einer Matrix zu finden, können wir die Methode `np.linalg.eig()` verwenden: 

import numpy as np

# Define a square matrix
matrix = np.array([[2, 1, 3], [1, 3, 0], [3, 0, 4]])

# Calculate eigenvectors and eigenvalues
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)

# Print the eigenvalues and eigenvectors
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(f'Eigenvalue {i+1}: {eigenvalues[i]:.3f}')
    print(f'Eigenvector {i+1}: {np.round(eigenvectors[:, i], 3)}\n')

In diesem Beispiel erstellen wir eine 3x3 `matrix` Matrix. Wir verwenden dann die Methode `np.linalg.eig()` von `NumPy`, um die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen. Die Funktion gibt zwei Arrays zurück: Eigenwerte enthalten die Eigenwerte und Eigenvektoren enthalten die entsprechenden Eigenvektoren.     
## Praktische Anwendungen
Eigenwerte und -vektoren werden häufig zur Lösung verschiedener angewandter Probleme verwendet. Eines dieser Probleme ist das Problem der **Dimensionsreduktion**, für das der PCA-Algorithmus verwendet wird: Dieser Algorithmus basiert auf der Verwendung von Eigenwerten der Merkmalskovarianzmatrix.    
>Hinweis
>
>Dimensionsreduktion ist ein grundlegendes Problem in der Datenanalyse und im maschinellen Lernen, das darauf abzielt, die Anzahl der Merkmale oder Variablen in einem Datensatz zu reduzieren, während so viele relevante Informationen wie möglich erhalten bleiben.

Angenommen, `v = [2, 4, 6]` ist ein Eigenvektor der Matrix `A`, der dem Eigenwert `λ=2` entspricht. Berechnen Sie das Ergebnis der Matrixmultiplikation `A * v`.

Um viele angewandte Disziplinen zu studieren, ist es notwendig, grundlegende Kenntnisse in höherer Mathematik und linearer Algebra zu haben. Mathematik wird häufig in der Datenanalyse, der Systemmodellierung, dem Aufbau von maschinellen Lernmodellen usw. verwendet. Lassen Sie uns einige der wichtigsten Themen betrachten und lernen, wie man den mathematischen Apparat zur Lösung realer Probleme einsetzt.

Beginnen wir mit einigen grundlegenden Definitionen und Konzepten, die wir später verwenden werden. Betrachten Sie die Idee einer Funktion, einer Zahlenfolge und deren Summe und verstehen Sie auch, was die Basis eines Koordinatensystems ist.

Die einfachste und am häufigsten verwendete Art von Beziehung ist die lineare Beziehung. Lineare Algebra ist ein Zweig der höheren Mathematik, der sich vollständig linearen Funktionen und linearen Räumen widmet. Schauen wir uns einige der wichtigsten Themen der linearen Algebra an: Vektoren, Matrizen, das Lösen linearer Gleichungen und das Lösen des spektralen Problems für Matrizen.

Die mathematische Analyse ist eine Disziplin, die es Ihnen ermöglicht, Funktionen nach verschiedenen Kriterien zu analysieren. Betrachten Sie, wie man numerische Sequenzen auf Konvergenz überprüft, die maximalen/minimalen Werte von Funktionen findet, nichtlineare Gleichungen löst und Integrale zur Lösung angewandter Probleme verwendet.

Mathematik für Datenanalyse und Modellierung

Eigenwerte und Eigenvektoren

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Praktische Anwendungen