Numerische Operationen auf Vektoren und Matrizen

Numerische Operationen an Vektoren

In Python können numerische Operationen an Vektoren mit verschiedenen Bibliotheken wie NumPy durchgeführt werden. NumPy bietet effiziente und praktische Funktionen für vektorisierte Operationen, die es einfach machen, Berechnungen an Vektoren durchzuführen.

Hier sind einige gängige numerische Operationen an Vektoren, zusammen mit Beispielen in Python:

Addition

Zwei Vektoren elementweise zusammen addieren.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a + b
print(c)

Subtraktion

Einen Vektor elementweise von einem anderen subtrahieren.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a - b
print(c)

Skalarmultiplikation

Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = 2
c = a * b
print(c)

Skalarprodukt

Berechnung des Skalarprodukts zwischen zwei Vektoren.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine mathematische Operation, die einen Skalarwert ergibt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren u und v wird berechnet, indem die Summe der Produkte ihrer entsprechenden Komponenten gebildet wird:

u · v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + u₃ * v₃ + ... + uₙ * vₙ


              12345678
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = np.dot(a, b)

# Dot Product = 1*4 + 2*5 + 3*6
print(c)

Operationen an Matrizen

Betrachten wir nun numerische Operationen an Matrizen.

Addition und Subtraktion

Matrizen und Vektoren gleicher Form können elementweise addiert oder subtrahiert werden.


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

S = A + B
D = A - B
print(S)
print(D)

Skalare Multiplikation und Division

Jedes Element einer Matrix oder eines Vektors kann mit einem Skalarwert multipliziert oder durch diesen dividiert werden. Beispiel in Python:


              1234567891011
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
scalar = 2

B = scalar * A  # Scalar multiplication
C = A / scalar  # Scalar division

print(B)
print(C)

Matrixmultiplikation

Die Multiplikation von zwei Matrizen ist eine binäre Operation, die zwei Matrizen kombiniert, um eine neue Matrix zu erzeugen. Um das Ergebnis der Multiplikation von zwei Matrizen zu berechnen, muss die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix sein. Das Skalarprodukt von Matrizen wird berechnet, indem das Skalarprodukt der entsprechenden Zeilen der ersten Matrix und der Spalten der zweiten Matrix genommen wird. Die resultierende Matrix wird die gleiche Anzahl von Zeilen wie die erste Matrix und die gleiche Anzahl von Spalten wie die zweite Matrix haben. Der Prozess der Matrixmultiplikation kann wie folgt visualisiert werden:

Beispiel


              12345678910111213141516171819202122232425262728
            
import numpy as np

# Define matrices A and B
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])  # Matrix A with shape `(2, 3)`
B = np.array([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])  # Matrix B with shape `(3, 2)`

# Perform dot product of matrices A and B
C = np.dot(A, B)  # Resulting matrix C with shape `(2, 2)`

# Print the resulting matrix C
print("Resulting matrix C (A dot B):")
print(C)

# Element-wise calculation of `C[0, 0]`
# c11 = 1*7 + 2*9 + 3*11
print("C[0, 0] = 1*7 + 2*9 + 3*11 =", C[0, 0])

# Element-wise calculation of `C[0, 1]`
# c12 = 1*8 + 2*10 + 3*12
print("C[0, 1] = 1*8 + 2*10 + 3*12 =", C[0, 1])

# Element-wise calculation of `C[1, 0]`
# c21 = 4*7 + 5*9 + 6*11
print("C[1, 0] = 4*7 + 5*9 + 6*11 =", C[1, 0])

# Element-wise calculation of `C[1, 1]`
# c22 = 4*8 + 5*10 + 6*12
print("C[1, 1] = 4*8 + 5*10 + 6*12 =", C[1, 1])

Hinweis

Beachten Sie, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Im Allgemeinen gilt A * B != B * A.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 2. Kapitel 1