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Mathematik für Datenanalyse und Modellierung
Mathematik für Datenanalyse und Modellierung
Vektoren und Matrizen
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das eine Größe mit sowohl Betrag als auch Richtung darstellt. Um das Wesen eines Vektors zu verstehen, sollten wir zunächst verstehen, was eine einzelne Zahl ist.
Eine einzelne Zahl ist eine einfache quantitative Eigenschaft, die ihre Größe beschreibt. Gleichzeitig ist ein Vektor eine Sammlung solcher Eigenschaften und kann verwendet werden, um komplexe Objekte und Prozesse zu beschreiben, die eine einzelne Zahl nicht beschreiben kann.
So kann der Vektor als eine geordnete Liste von Zahlen interpretiert werden. Diese Zahlen werden auch Koordinaten genannt.
Vektoren können Geschwindigkeit, Kraft, Farben, komplexe Datenstrukturen usw. beschreiben. Auch mit Hilfe von Vektoren wird die Position eines Punktes im Raum normalerweise festgelegt.
Beispiel: Bestimmung der Position eines Punktes im Raum
import matplotlib.pyplot as plt def plot_vectors(vectors): origin = [0, 0] # The point at which the vector begins # Plot each vector in the list for vector in vectors: # Plot a single vector from the origin to the specified point plt.quiver(*origin, *vector, angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # Set the limits for the x-axis and y-axis plt.xlim(-5, 5) # Set the x-axis limits plt.ylim(-5, 5) # Set the y-axis limits # Label the x-axis and y-axis plt.xlabel('X-axis') plt.ylabel('Y-axis') # Show grid lines on the plot plt.grid(True) # Display the plot plt.show() # Example usage vectors = [[3, 4], [-3, 4], [3, -4], [-3, -4]] # Four different vectors plot_vectors(vectors)
Wir können 4 verschiedene Pfeile sehen: jeder hat die gleiche Länge, aber unterschiedliche Richtungen. Daher können wir den Pfeil nicht nur mit dem Betrag als einzelne Zahl beschreiben - wir müssen einen Vektor verwenden, um zusätzliche Informationen über die Richtung des Pfeils bereitzustellen.
Beispiel: Datenrepräsentation für maschinelle Lernmodelle
Daten für maschinelle Lernmodelle werden ebenfalls mit Vektoren dargestellt:
import numpy as np from sklearn.datasets import load_iris # Load the Iris dataset iris = load_iris() # Access the data attribute data = iris.data # Print the first few samples of the data print(f'Data samples:\n{data[:5]}')
Wir können sehen, dass Informationen über jede Irisblume als ein Vektor mit 4 Koordinaten gespeichert sind. Jede Koordinate repräsentiert ein bestimmtes Merkmal der Blume: Länge/Breite eines Kelchblatts/Blütenblatts.
Offensichtlich, wenn wir anstelle eines Vektors eine einzelne Zahl verwenden, können wir nicht genügend Informationen über die Eigenschaften einer bestimmten Pflanze bereitstellen.
Was ist eine Matrix?
Ein weiteres wichtiges mathematisches Objekt ist eine Matrix - ein rechteckiges Array von Zahlen, Symbolen oder Ausdrücken, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.
Matrizen werden verwendet, um lineare Transformationen, Systeme linearer Gleichungen und andere mathematische Operationen darzustellen und zu manipulieren. Wir können eine Matrix als einen Vektor interpretieren, dessen Koordinaten ebenfalls Vektoren sind.
Matrizen werden häufig verwendet, um verschiedene Prozesse zu beschreiben und zu modellieren.
Bilddarstellung mit Matrix
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Generate a grayscale image image = np.array([[50, 100, 150, 200], [75, 125, 175, 225], [100, 150, 200, 250], [125, 175, 225, 255]]) # Display the grayscale image plt.imshow(image, cmap='gray') plt.axis('off') plt.show()
Jede Zahl in der Matrix repräsentiert den Intensitäts- oder Helligkeitswert eines Pixels im Graustufenbild.
Figurenmanipulationen
Wir können auch verschiedene Manipulationen mit Figuren unter Verwendung von Matrizen bereitstellen. Zum Beispiel können wir eine Figur durch Matrixmultiplikation drehen (wir werden diese Operation im nächsten Abschnitt genauer betrachten):
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the coordinates of the figure x = np.array([0, 1, 1, 0, 0]) y = np.array([0, 0, 1, 1, 0]) # Plot the original figure plt.plot(x, y, color='blue', label='Original') # Define the rotation angle in degrees angle_deg = 45 # Convert the angle to radians angle_rad = np.radians(angle_deg) # Create the rotation matrix rotation_matrix = np.array([[np.cos(angle_rad), -np.sin(angle_rad)], [np.sin(angle_rad), np.cos(angle_rad)]]) # Perform the rotation transformation vertices = np.row_stack((x, y)) vertices_rotated = np.dot(rotation_matrix, vertices) # Extract the rotated coordinates x_rotated = vertices_rotated.T[:, 0] y_rotated = vertices_rotated.T[:, 1] # Plot the rotated figure plt.plot(x_rotated, y_rotated, color='red', label='Rotated') # Set the aspect ratio and limits of the plot plt.gca().set_aspect('equal') plt.xlim(-2, 2) plt.ylim(-2, 2) # Add labels and legend plt.xlabel('X-axis') plt.ylabel('Y-axis') plt.legend() # Display the plot plt.show()
Wir haben eine spezifische Rotationsmatrix verwendet und sie auf unsere Figur angewendet. Diese Matrix bestimmt, wie wir unsere Figur drehen. Sie können die Variable angle_deg im obigen Code ändern und das Ergebnis der Drehung betrachten.
Als Ergebnis erhielten wir die gleiche Figur mit den gleichen Eigenschaften, jedoch um 45 Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Hinweis
Es gibt viele andere Möglichkeiten, Vektoren und Matrizen in realen Aufgaben zu verwenden. Sie alle aufzuzählen würde lange dauern, daher werden wir dies in diesem Kurs nicht tun.
Danke für Ihr Feedback!
