Skalierungsfaktor der Linearen Transformation

Im Kontext von Matrizen bezieht sich eine lineare Transformation auf eine mathematische Operation, die einen Vektor oder eine Matrix als Eingabe nimmt und einen transformierten Vektor oder eine transformierte Matrix als Ausgabe erzeugt. Eine Transformationsmatrix repräsentiert diese Transformation. Um die Transformation anzuwenden, multiplizieren wir die Transformationsmatrix mit dem Vektor oder der Matrix, die transformiert werden muss.

Wir haben bereits im vorherigen Kapitel erwähnt, dass der Determinant der Transformationsmatrix den Maßstab des resultierenden Vektors beeinflusst. Betrachten wir ein Beispiel, um dies zu verstehen.

Lassen Sie uns mehrere Diagramme erstellen, um den Unterschied zwischen linearen Transformationen mit Matrizen von unterschiedlichen Determinanten zu demonstrieren. Wir werden uns darauf konzentrieren, wie der Determinant die Skalierung der Transformation beeinflusst.

Erste Transformation (Hoher Determinant):


              1234567891011121314151617181920212223242526272829
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Matrix with a high determinant
A = np.array([[2, 0],
              [0, 3]])

# Vector to be transformed
v = np.array([1, 1])

# Apply the transformation
result_A = np.dot(A, v)

# Plot the graph
plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original Vector')
plt.quiver(0, 0, result_A[0], result_A[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Transformed Vector (High Determinant)')

# Set the graph limits
plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-5, 5)

# Add labels and legend
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title(f'Determinant is {np.linalg.det(A)}')
plt.legend()

# Show the graph
plt.show()

Zweite Transformation (Niedrige Determinante):


              1234567891011121314151617181920212223242526272829
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Matrix with a low determinant
B = np.array([[0.5, 0.1],
              [0.3, 0.5]])

# Vector to be transformed
v = np.array([1, 1])

# Apply the transformation
result_B = np.dot(B, v)

# Plot the graph
plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original Vector')
plt.quiver(0, 0, result_B[0], result_B[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Transformed Vector (Low Determinant)')

# Set the graph limits
plt.xlim(-1, 3)
plt.ylim(-1, 3)

# Add labels and legend
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title(f'Determinant is {np.linalg.det(B)}')
plt.legend()

# Show the graph
plt.show()

Skalierungsfaktor der Transformation

Skalierung repräsentiert die Änderung der Länge des Vektors nach der Transformation. Eine höhere Determinante führt zu einem größeren Skalierungsfaktor, wodurch der transformierte Vektor stärker gestreckt wird als der Originalvektor. Umgekehrt führt eine niedrigere Determinante zu einem kleineren Skalierungsfaktor, was zu weniger Streckung des transformierten Vektors führt.

Hinweis

Es ist notwendig zuzugeben, dass im Fall, wenn det(A) = 0 oder det(A) = 1, wir keine Schlussfolgerungen über den Skalierungsfaktor der Matrix ohne zusätzliche Analyse der Matrixstruktur ziehen können.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 2. Kapitel 4