Contenu du cours
Théorie Avancée des Probabilités
Théorie Avancée des Probabilités
Fonctions de Répartition Cumulative et Fonctions de Densité de Probabilité
Fonction de Répartition Cumulative (CDF)
La Fonction de Répartition Cumulative (CDF) est une fonction qui décrit la probabilité cumulative d'une variable aléatoire prenant une valeur inférieure ou égale à une valeur donnée.
Mathématiquement, la CDF d'une variable aléatoire X, notée F(x), est définie comme :
F(x) = Probability that variable X is less or equal to value x.
En utilisant cette fonction, il est facile de décrire les variables aléatoires continues.
Regardez l'exemple ci-dessous : nous utiliserons une variable aléatoire normalement distribuée et examinerons sa CDF en utilisant la méthode .cdf().
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm # Generate a random variable following a normal distribution mu = 0 # mean sigma = 1 # standard deviation x = np.linspace(-5, 5, 100) # x values rv = norm(loc=mu, scale=sigma) # create a normal distribution with given mean and standard deviation # Compute the CDF for the random variable cdf = rv.cdf(x) # Plot the CDF plt.plot(x, cdf, label='CDF') plt.xlabel('X') plt.ylabel('CDF') plt.title('CDF of a Standard Normal Distribution') plt.legend() plt.show()
En utilisant la fonction de répartition (CDF), nous pouvons déterminer la probabilité que notre variable aléatoire appartienne à l'un des intervalles d'intérêt. Supposons que X soit une variable aléatoire, et F(x) soit sa fonction de répartition (CDF).
Pour déterminer la probabilité que la variable X appartienne à l'intervalle [a, b], nous pouvons utiliser la formule suivante:
P{X є [a,b]} = F(b) - F(a).
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm # Generate a random variable following a normal distribution mu = 0 # mean sigma = 1 # standard deviation rv = norm(loc=mu, scale=sigma) # Calculate probabilities for different ranges print('Normally distributed variable belongs to [-1, 1] with probability:', round(rv.cdf(1) - rv.cdf(-1), 3)) print('Normally distributed variable belongs to [-2, 2] with probability:', round(rv.cdf(2) - rv.cdf(-2), 3)) print('Normally distributed variable belongs to [-3, 3] with probability:', round(rv.cdf(3) - rv.cdf(-3), 3))
Fonction de Point de Pourcentage (PPF)
Fonction de Point de Pourcentage (PPF), également connue comme l'inverse de la fonction de répartition (CDF). Elle est utilisée pour trouver la valeur d'une variable aléatoire qui correspond à une probabilité donnée. En Python, elle est implémentée en utilisant la méthode .ppf():
from scipy.stats import norm # Define probabilities probabilities = [0.1, 0.5, 0.85] # Iterate over each probability and print the corresponding value of the variable for i in probabilities: # Calculate the value of the variable using the percent point function (inverse of the cumulative distribution function) value = norm.ppf(i) # Round the value to 3 decimal places for clarity value = round(value, 3) # Print the result print('Normally distributed variable is less than', value, 'with probability', i)
Fonction de Densité de Probabilité (PDF)
Fonction de Densité de Probabilité (PDF) est une fonction qui fournit des informations sur la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur particulière à un point spécifique dans la plage continue. Son interprétation est similaire à celle de la PMF mais est spécifiquement utilisée pour décrire les variables aléatoires continues.
La PDF définit la forme de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue.
Considérons l'exemple suivant de PDF calculé en utilisant la méthode .pdf().
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm # Generate x values for plotting x = np.linspace(-3, 3, 100) # Calculate the probability density function (PDF) values for the standard normal distribution pdf_values = norm.pdf(x, loc=0, scale=1) # Plot the PDF plt.plot(x, pdf_values, label='PDF') # Plot PDF values against x values plt.xlabel('X') # Label for x-axis plt.ylabel('PDF') # Label for y-axis plt.title('PDF of a Standard Normal Distribution') # Title of the plot plt.legend() # Show legend plt.show() # Display the plot
Le PDF fournit un aperçu de la probabilité ou de la densité de probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur spécifique. Des valeurs de PDF plus élevées suggèrent une plus grande probabilité, tandis que des valeurs plus faibles suggèrent une probabilité moindre.
Pour déterminer la probabilité qu'une variable continue tombe dans une plage spécifique, similaire à l'utilisation de la PMF, nous calculons la somme du PDF pour toutes les valeurs dans cette plage. Cependant, comme les variables continues peuvent avoir un nombre infini de valeurs dans n'importe quelle plage, nous calculons l'aire sous la courbe du PDF dans la plage spécifiée au lieu d'une simple somme.
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