Contenu du cours

Théorie Avancée des Probabilités

1. Déclarations Supplémentaires de la Théorie des Probabilités

Aperçu du Cours Variables Aléatoires Absolument Continues et Discrètes Fonctions de Répartition Cumulative et Fonctions de Densité de Probabilité Caractéristiques des Variables Aléatoires Vecteurs Aléatoires Propriétés Utiles de la Distribution Gaussienne Défi : Détection des Valeurs Aberrantes à l'Aide de la Règle des 3-Sigmas

2. Les Théorèmes Limites de la Théorie des Probabilités

Loi des Grands Nombres Loi des Grands Nombres pour le Processus de Bernoulli Défi : Estimer la Valeur Moyenne en Utilisant la Loi des Grands Nombres Théorème Central Limite Défi : Application du CLT à la Résolution de Problèmes Réels

3. Estimation des Paramètres de Population

Population Générale. Échantillons. Paramètres de Population.Estimation des Moments. Estimation du Maximum de Vraisemblance Défi : Estimer les Paramètres de la Distribution du Chi-Square Estimation Sans Biais Défi : Vérification du Biais d'une Estimation à l'Aide de la Simulation Estimation Cohérente Estimation Efficace Intervalles de Confiance pour les Paramètres de Population Défi : Intervalle de Confiance pour le Paramètre de Distribution Exponentielle

4. Test des Hypothèses Statistiques

Qu'est-ce Qu'une Hypothèse Statistique ? Erreurs de Type 1 et de Type 2 Qu'est-ce Que la Valeur P?Comparer les Moyennes de Deux Ensembles de Données Différents Défi : Utiliser le TCL pour Comparer les Valeurs Moyennes des Ensembles de Données Non Gaussiens Défi : Approche de Rééchantillonnage pour Comparer les Valeurs Moyennes des Ensembles de Données Test de l'Hypothèse d'Indépendance de Deux Variables Aléatoires

Variables Aléatoires Absolument Continues et Discrètes

Comprendre les Variables Aléatoires

Une variable aléatoire est une valeur qui change en fonction du résultat d'un événement ou d'une expérience aléatoire. Par exemple, cela pourrait être le nombre de faces lors de lancers de pièces, les accidents sur un tronçon de route, le poids sur une balance ou le temps d'attente d'un bus.

Les variables aléatoires peuvent être classées en deux types :

Variables Discrètes : Prennent des valeurs spécifiques et dénombrables comme les nombres naturels (par exemple, le nombre d'incidents routiers);
Variables Continues : Peuvent prendre n'importe quelle valeur dans une certaine plage (par exemple, le poids d'une personne).

Fonction de Masse de Probabilité (FMP)

Fonction de Masse de Probabilité (FMP) est utilisée pour décrire les variables aléatoires discrètes. C'est comme un tableau contenant toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes.

Par exemple, considérez une simple FMP décrivant le résultat d'un lancer de pièce unique.

Regardons l'exemple d'utilisation de la FMP en Python : nous utiliserons la distribution Binomiale décrite dans le cours Notions de Base de la Théorie des Probabilités.


              12345678910
            
from scipy.stats import binom

# Flipping a coin 5 times and finding out how many times we get heads
# `n` is a number of experiments, `p` is probability of occuring a head
coin = binom(n=5, p=0.5)

# Due to conditions of an experiment we can have heads 0, 1, 2, 3, 4, 5 times
# Using pmf to get probabilities of all described results of an experiment
for i in range (6):
	print('Probability of ', i, ' heads is ', round(coin.pmf(i), 4))

Le résultat du code ci-dessus peut être représenté comme suit:

Remarque

La somme de toutes les probabilités dans le tableau PMF est toujours égale à 1.

D'autre part, comment pouvons-nous représenter des variables aléatoires continues si nous ne pouvons pas simplement énumérer toutes les valeurs possibles de ces variables et écrire la série de distribution ? Nous aborderons cette question dans le prochain chapitre.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 1. Chapitre 2