Bayes' Theorem

Der Satz von Bayes ist ein grundlegendes Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie, das es uns ermöglicht, unsere Überzeugungen bzw. Wahrscheinlichkeiten basierend auf neuen Erkenntnissen zu aktualisieren. Wir haben bereits das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit betrachtet, und der Satz von Bayes ist diesem Gesetz sehr ähnlich. Schauen wir uns die Formulierung an:

Lassen Sie uns Erklärungen liefern:

1. Wir müssen unseren Raum der elementaren Ereignisse in n verschiedene unvereinbare Ereignisse aufteilen;
2. Wir wissen, dass das Ereignis A aus dem stochastischen Experiment resultiert. Das bedeutet, dass A bereits eingetreten ist;
3. Wir möchten verstehen, mit welchem Segment H wir experimentiert haben, indem wir die entsprechende bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen.

Beispiel

Angenommen, ein Diabetes-Test hat eine Genauigkeit von 90% bei der Erkennung einer bestimmten Krankheit.
Die Krankheit ist selten und tritt nur bei 1% der Bevölkerung auf. Wenn eine Person positiv auf die Krankheit getestet wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich an der Krankheit leidet?

Lösung

Um dieses Problem zu lösen, muss berücksichtigt werden, dass der Test falsch-positive und falsch-negative Ergebnisse liefern kann. Deshalb müssen wir den Satz von Bayes verwenden.

H₁: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Diabetes hat, beträgt 0.01.
H₂: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person keinen Diabetes hat, beträgt 0.99.
A: Das Testergebnis ist positiv (Diabetes wird durch den Test erkannt).
P(A|H₁): Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test Diabetes erkennt und die Person erkrankt ist, beträgt 0.9 (richtig positiver Befund).
P(not A|H₂): Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test Diabetes nicht erkennt und die Person nicht erkrankt ist, beträgt 0.9 (richtig negativer Befund).
P(A|H₂): Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test Diabetes erkennt, obwohl die Person nicht erkrankt ist, beträgt 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (falsch positiver Befund).

Wir müssen P(H₁|A) finden – die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich erkrankt ist, wenn der Test Diabetes erkennt