Contenido del Curso
Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad
Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad
Probabilidad Geométrica
En el capítulo anterior, analizamos la regla clásica para contar probabilidades. Según esta regla, la probabilidad se calcula como la razón entre el número de resultados de interés y el número de todos los resultados posibles. Pero, ¿qué sucede si el número de resultados no puede ser contado?
Por ejemplo, suponga que dispara aleatoriamente a un objetivo y desea determinar la probabilidad de acertar en el área central de ese objetivo.
En este caso, no es posible contar todos los resultados posibles porque la cantidad de puntos que puede alcanzar es infinita. Como resultado, tendremos que utilizar la probabilidad geométrica.
El principio para calcular probabilidades geométricas es similar a la regla clásica: seguimos suponiendo que todos los resultados elementales posibles del experimento son igualmente probables, pero en lugar de contar el número de resultados, consideramos su medida geométrica.
La medida geométrica se determina en función de la dimensión del espacio de los eventos elementales:
si el espacio es unidimensional (línea), entonces se utiliza la longitud de la línea como medida;
si es bidimensional (plano), entonces se utiliza el área de la figura en el plano como medida;
si es tridimensional (una figura en el espacio), entonces utilizamos el volumen como medida.
Así, para resolver el problema con un objetivo, podemos usar la razón entre el área de interés y el área total del objetivo. Supongamos que el objetivo completo es un círculo con radio 2 y la región de interés es un círculo en el centro con radio 1. Entonces, la probabilidad de acertar en la región central se puede calcular de la siguiente manera:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the radii of the circles r_large = 2 # Radius of the larger circle r_small = 1 # Radius of the smaller circle # Calculate the areas area_large = np.pi * r_large**2 # Area of the larger circle area_small = np.pi * r_small**2 # Area of the smaller circle # Calculate the probability probability = area_small / area_large # Probability of shooting into the smaller circle # Plot the circles fig, ax = plt.subplots() # Create a new figure and axis object circle_large = plt.Circle((0, 0), r_large, color='blue', alpha=0.3) # Create a circle representing the larger circle circle_small = plt.Circle((0, 0), r_small, color='red', alpha=0.5) # Create a circle representing the smaller circle ax.add_artist(circle_large) # Add the larger circle to the plot ax.add_artist(circle_small) # Add the smaller circle to the plot ax.set_aspect('equal') # Set the aspect ratio of the plot to be equal ax.set_xlim(-r_large-1, r_large+1) # Set the x-axis limits ax.set_ylim(-r_large-1, r_large+1) # Set the y-axis limits ax.set_xlabel('X') # Set the x-axis label ax.set_ylabel('Y') # Set the y-axis label ax.set_title('Probability of Shooting into the Circle') # Set the title of the plot plt.legend(['Target', 'Area to shoot']) # Add a legend to the plot plt.grid(True) # Add a grid to the plot plt.show() # Display the plot print(f'The probability of shooting into the smaller circle is {probability:.4f}') # Print the probability
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