Kursinhalt

Fortgeschrittene Wahrscheinlichkeitstheorie

1. Zusätzliche Aussagen Aus Der Wahrscheinlichkeitstheorie

Kursübersicht Absolut Stetige und Diskrete Zufallsvariablen Kumulative Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Eigenschaften von Zufallsvariablen Zufällige Vektoren Nützliche Eigenschaften der Gaußschen Verteilung Herausforderung: Ausreißererkennung Mit Der 3-Sigma-Regel

2. Die Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie

Gesetz der Großen Zahlen Gesetz der Großen Zahlen für Bernoulli-Prozess Herausforderung: Schätzen Sie den Mittelwert Mit dem Gesetz der Großen Zahlen Zentraler Grenzwertsatz Herausforderung: Anwendung des CLT zur Lösung Eines Realen Problems

3. Schätzung von Populationsparametern

Allgemeine Bevölkerung. Stichproben. Populationsparameter.Momentenschätzung. Maximum-Likelihood-Schätzung Herausforderung: Schätzung der Parameter der Chi-Square-Verteilung Unverzerrte Schätzung Herausforderung: Überprüfung der Verzerrung Einer Schätzung Mittels Simulation Konsistente Schätzung Effiziente Schätzung Konfidenzintervalle für Populationsparameter Herausforderung: Konfidenzintervall für Parameter der Exponentialverteilung

4. Testing of Statistical Hypotheses

Was Ist Eine Statistische Hypothese? Fehler 1. und 2. Art Was Ist der p-Wert?Vergleich der Mittelwerte Zweier Verschiedener Datensätze Herausforderung: Verwendung des CLT zum Vergleich von Mittelwerten Nicht-Gaußscher Datensätze Herausforderung: Resampling-Ansatz zum Vergleich der Mittelwerte der Datensätze Testen der Hypothese der Unabhängigkeit von Zwei Zufallsvariablen

Konfidenzintervalle für Populationsparameter

In den vorherigen Kapiteln haben wir betrachtet, wie es möglich ist, die Parameter der Population zu schätzen und die Qualität der Schätzungen zu überprüfen. Aber diese Schätzungen waren Punkt: Wir haben einfach den möglichen Wert des Parameters basierend auf den Daten, die wir haben, bestimmt. Aber es gibt einen anderen Ansatz: Wir können ein bestimmtes Intervall konstruieren, das mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit den tatsächlichen Wert des gewünschten Parameters abdeckt. Dieses Intervall wird als Konfidenzintervall bezeichnet. Schauen wir uns die Definition an:

Das Prinzip der Konstruktion von Konfidenzintervallen ist dem Prinzip der Konstruktion von Punktschätzungen etwas ähnlich. Wir verwenden auch eine bestimmte Funktion mit unseren Stichproben als Argumente für diese Funktion. Dabei nutzen wir das Verteilungsgesetz dieser Funktion und bauen ein Intervall. Eine strenge mathematische Erklärung dieses Prozesses kann jedoch ziemlich kompliziert sein, daher werden wir nicht näher darauf eingehen.

Hinweis

Es ist erwähnenswert, dass es eine andere Art der Intervallschätzung für Populationsparameter gibt, die als glaubwürdiges Intervall bezeichnet wird und mit dem Bayesschen Theorem konstruiert wird. Diese Intervalle haben unterschiedliche Interpretationen:

Das Konfidenzintervall ist im Wesentlichen ein Intervall mit zufälligen Endpunkten, das mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit den wahren konstanten Wert des Parameters abdeckt;

Im Gegensatz dazu ist das glaubwürdige Intervall ein konstantes Intervall, in dem der zufällige Wert des gewünschten Parameters mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt.

Konfidenzintervall für den Erwartungsparameter der Gaußschen Verteilung

Schauen wir uns an, wie man ein Konfidenzintervall für den Erwartungsparameter der Gaußschen Verteilung erstellt. Wir werden zwei verschiedene Situationen betrachten:

Im obigen Bild haben wir ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Gaußschen Verteilung angegeben, wenn wir die Varianz kennen. Wir verwenden die PPF der Gaußschen Verteilung und die Stichprobe, um dieses Intervall zu erstellen.

Dann haben wir ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Gaußschen Verteilung angegeben, wenn wir die Varianz nicht kennen, und die angepasste Stichprobenvarianz anstelle der bekannten Varianz zur Schätzung verwendet. Wir verwenden die PPF der Student-Verteilung mit einem Freiheitsgrad von n-1, um dieses Intervall zu erstellen.

Konfidenzintervall mit Python

Schauen wir uns nun an, wie man ein Konfidenzintervall für den Mittelwert von Gaußschen Stichproben in Python erstellt. Wir werden verschiedene Konfidenzniveaus verwenden und die aufgrund der entsprechenden Konfidenzniveaus erstellten Intervalle vergleichen.


              123456789101112131415161718192021222324252627
            
import numpy as np
from scipy import stats
import pandas as pd

# Load the dataset
samples = pd.read_csv('https://codefinity-content-media.s3.eu-west-1.amazonaws.com/Advanced+Probability+course+media/gaussian_samples.csv', names=['Value'])
data = np.array(samples)

# Calculate the degrees of freedom
n = len(data)
df = n - 1

# Build confidence intervals with different confidence levels
for conf_level in [0.9, 0.95, 0.99]:
    # Calculate the t-value for the given confidence level and degrees of freedom
    t_value = stats.t.ppf((1+ conf_level) / 2, df)

    # Calculate the sample mean and adjusted sample variance
    mean = np.mean(data)
    adjusted_var = np.var(data, ddof=1)

    # Calculate the lower and upper bounds of the confidence interval
    lower_bound = mean - t_value * np.sqrt(adjusted_var) / np.sqrt(n)
    upper_bound = mean + t_value * np.sqrt(adjusted_var) / np.sqrt(n)
    
    # Print the result
    print(f'{conf_level:.0%} confidence interval for mean value is: ({lower_bound:.2f}, {upper_bound:.2f})')

Wir sehen, dass je höher das Konfidenzniveau ist, desto breiter wird das Intervall. Das ist ganz logisch, da je breiter das Intervall, desto höher die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Intervall den tatsächlichen Wert des Mittels abdeckt.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 3. Kapitel 8