Im vorherigen Kapitel haben wir betrachtet, wie man Konfidenzintervalle für die Parameter einer normalverteilung erstellt. Jetzt wollen wir verstehen, wie wir dies nutzen können, um Konfidenzintervalle für die Parameter von anderen Verteilungen zu erstellen.
Zum Beispiel verwenden wir die exponentialverteilung. Früher in diesem Kurs wurde die Exponentialverteilung bereits in Beispielen verwendet. Jetzt schauen wir uns diese Verteilung genauer an und betrachten ihre PDF und Eigenschaften:

Wir müssen ein Konfidenzintervall für den Lambda-Parameter erstellen, um dieses Problem zu lösen. Betrachten wir zunächst nicht den Lambda-Parameter selbst, sondern den inversen Parameter 1/Lambda. Gemäß der Momentenmethode können wir diesen Parameter mit dem Stichprobenmittelwert schätzen, wie wir bereits gezeigt haben, wird eine solche Schätzung sowohl unverzerrt als auch konsistent sein.

Hinweis

Diese Schätzung wird auch effektiv sein. Sie können dies selbst anhand der Informationen im vorherigen Kapitel überprüfen.

Konfidenzintervall für den Parameter der Exponentialverteilung

Zuerst finden wir den Erwartungswert und die Varianz unserer Schätzung:

Nun konstruieren wir die folgende Funktion und analysieren sie:

Da wir die Summe von i.i.d. Zufallsvariablen mit einem endlichen mathematischen Erwartungswert und einer Varianz haben, können wir den zentralen Grenzwertsatz auf unsere Schätzung anwenden. Dann konstruieren wir die Funktion so, dass ihre Verteilung nicht von den geschätzten Parametern abhängt. Schließlich müssen wir nur das analytische Konfidenzintervall angeben.

Hinweis

Schätzungen, für die der zentrale Grenzwertsatz gilt, werden als asymptotisch normal bezeichnet. Wir können Konfidenzintervalle unter Verwendung der Konfidenzintervalle der Gaußschen Verteilung für solche Schätzungen konstruieren.