Теорема Байєса
Теорема Байєса — це фундаментальне поняття теорії ймовірностей, яке дозволяє оновлювати наші уявлення або ймовірності на основі нових доказів. Ми вже розглядали формулу повної ймовірності, теорема Байєса дуже схожа на цю формулу. Розглянемо формулювання:
Пояснення:
- Необхідно розбити простір елементарних подій на
nрізних несумісних подій; - Відомо, що подія A є результатом стохастичного експерименту. Це означає, що A вже відбулася;
- Потрібно з'ясувати, з яким сегментом H ми експериментували, обчисливши відповідну умовну ймовірність.
Приклад
Припустимо, що медичний тест на діабет має точність 90% у виявленні певного захворювання.
Захворювання є рідкісним і зустрічається лише у 1% населення. Якщо у людини позитивний результат тесту на захворювання, яка ймовірність того, що ця людина дійсно хвора?
Розв'язання
Для розв'язання цієї задачі необхідно врахувати, що тест може давати хибнопозитивний і хибнонегативний результат. Саме тому потрібно використовувати теорему Байєса.
H₁: Ймовірність того, що випадково обрана людина має діабет, дорівнює 0.01.
H₂: Ймовірність того, що випадково обрана людина не має діабету, дорівнює 0.99.
A: результат тесту позитивний (тест виявив діабет).
P(A|H₁): ймовірність того, що тест виявляє діабет і людина хвора, дорівнює 0.9 (істинно позитивний результат).
P(not A|H₂): ймовірність того, що тест не виявляє діабет і людина не хвора, дорівнює 0.9 (істинно негативний результат).
P(A|H₂): ймовірність того, що тест виявляє діабет, але людина не хвора, дорівнює 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (хибнопозитивний результат).
Потрібно знайти P(H₁|A) — ймовірність того, що людина дійсно хвора, якщо тест виявив діабет.
12345678910111213141516# Prior probabilities P_diabetes = 0.01 P_no_diabetes = 0.99 # Conditional probabilities P_positive_given_diabetes = 0.9 P_positive_given_no_diabetes = 0.1 # Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes) # Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test # Print the results print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')
Дякуємо за ваш відгук!
Запитати АІ
Запитати АІ
Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат
Запитайте мені питання про цей предмет
Сумаризуйте цей розділ
Покажіть реальні приклади
Awesome!
Completion rate improved to 3.85Теорема Байєса
Свайпніть щоб показати меню
Теорема Байєса — це фундаментальне поняття теорії ймовірностей, яке дозволяє оновлювати наші уявлення або ймовірності на основі нових доказів. Ми вже розглядали формулу повної ймовірності, теорема Байєса дуже схожа на цю формулу. Розглянемо формулювання:
Пояснення:
- Необхідно розбити простір елементарних подій на
nрізних несумісних подій; - Відомо, що подія A є результатом стохастичного експерименту. Це означає, що A вже відбулася;
- Потрібно з'ясувати, з яким сегментом H ми експериментували, обчисливши відповідну умовну ймовірність.
Приклад
Припустимо, що медичний тест на діабет має точність 90% у виявленні певного захворювання.
Захворювання є рідкісним і зустрічається лише у 1% населення. Якщо у людини позитивний результат тесту на захворювання, яка ймовірність того, що ця людина дійсно хвора?
Розв'язання
Для розв'язання цієї задачі необхідно врахувати, що тест може давати хибнопозитивний і хибнонегативний результат. Саме тому потрібно використовувати теорему Байєса.
H₁: Ймовірність того, що випадково обрана людина має діабет, дорівнює 0.01.
H₂: Ймовірність того, що випадково обрана людина не має діабету, дорівнює 0.99.
A: результат тесту позитивний (тест виявив діабет).
P(A|H₁): ймовірність того, що тест виявляє діабет і людина хвора, дорівнює 0.9 (істинно позитивний результат).
P(not A|H₂): ймовірність того, що тест не виявляє діабет і людина не хвора, дорівнює 0.9 (істинно негативний результат).
P(A|H₂): ймовірність того, що тест виявляє діабет, але людина не хвора, дорівнює 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (хибнопозитивний результат).
Потрібно знайти P(H₁|A) — ймовірність того, що людина дійсно хвора, якщо тест виявив діабет.
12345678910111213141516# Prior probabilities P_diabetes = 0.01 P_no_diabetes = 0.99 # Conditional probabilities P_positive_given_diabetes = 0.9 P_positive_given_no_diabetes = 0.1 # Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes) # Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test # Print the results print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')
Дякуємо за ваш відгук!
