Вивчайте Реалізація Границь у Python

Перш ніж досліджувати, як границі поводяться візуально, необхідно знати, як обчислювати їх безпосередньо за допомогою бібліотеки sympy. Ось три поширені типи границь, з якими ви зіткнетеся.

1. Скінченна границя

У цьому прикладі показано функцію, яка наближається до конкретного скінченного значення при $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Границя, що не існує

У цьому випадку функція поводиться по-різному зліва та справа, тому границя не існує.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Нескінченна границя

Цей приклад демонструє функцію, яка наближається до нуля при нескінченному зростанні (x).


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Ці короткі фрагменти коду демонструють використання sympy.limit() для обчислення різних типів границь — скінченних, невизначених та нескінченних — перед їх графічним аналізом

Означення функцій

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: проста лінійна функція, у якої лівостороння та правостороння границі розходяться;
f_same: класична обернена функція, яка наближається до однакової границі з обох сторін;
f_special: відома границя в математичному аналізі, що дорівнює 1 при $x \to 0$ .

Обробка ділення на нуль

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Функція f_same = 1/x має проблему при $x = 0$ (ділення на нуль), тому це значення замінюється на NaN (не число), щоб уникнути помилок;
Для f_special відомо, що $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , тому вручну призначаємо $1$ при $x = 0$ .

Побудова горизонтальних асимптот

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Функція 1/x має горизонтальну асимптоту при $y = 0$ ;
Функція sin(x)/x прямує до $y = 1$ , тому для наочності додається червона пунктирна лінія.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 2

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню