Вивчайте Реалізація Матричних Перетворень у Python

Розв'язання лінійної системи

Задаємо систему рівнянь:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Це переписується як:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Цей код знаходить значення $x$ та $y$ , які задовольняють обидва рівняння.

Чому це важливо: розв'язання систем рівнянь є основою для науки про дані — від побудови лінійних моделей до розв'язання оптимізаційних задач.

Застосування лінійних перетворень

Визначаємо вектор:

v = np.array([[2], [3]])

Далі застосовуємо два перетворення:

Масштабування

Розтягуємо $x$ у 2 рази та стискаємо $y$ у 0.5 разів:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Це виконує обчислення:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Обертання

Повертаємо вектор на $90°$ проти годинникової стрілки за допомогою матриці обертання:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Результат:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Візуалізація перетворень

За допомогою matplotlib будуємо кожен вектор з початку координат, підписуючи їх координати:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Чому це важливо: робочі процеси в науці про дані часто включають перетворення, наприклад:

Метод головних компонент — обертає дані;
Нормалізація ознак — масштабує осі;
Зниження розмірності — проєкції.

Візуалізуючи вектори та їхні перетворення, ми бачимо, як матриці буквально переміщують і змінюють форму даних у просторі.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 6

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain how the solution to the system of equations is calculated?

How does the scaling and rotation transformation affect the original vector?

Can you walk me through the visualization code and what each part does?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню