Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Вступ до Векторів | Основи Лінійної Алгебри
Математика для науки про дані

bookВступ до Векторів

Note
Визначення

Вектор — це математичний об'єкт, який визначає як напрямок, так і величину у просторі. У науці про дані вектори використовуються для опису точок даних, ознак і параметрів моделей, таких як ваги.

Що таке вектор?

Вектор — це впорядкована пара чисел, яка має як величину, так і напрямок.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Вектори часто зображаються як стрілки від початку координат до певної точки у просторі. Два вектори вважаються рівними, якщо вони мають однаковий напрямок і довжину, навіть якщо починаються з різних точок.

Нульовий вектор

Нульовий вектор не має довжини та напрямку. Його записують так:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Додавання та віднімання векторів

Додавання

Щоб додати два вектори, додайте їх відповідні компоненти:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Візуалізувати це можна за допомогою:

  • Метод "від хвоста до голови": перемістіть хвіст одного вектора до голови іншого;
  • Метод паралелограма: обидва вектори починаються з однієї точки та утворюють паралелограм.

Віднімання

Щоб відняти один вектор від іншого:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Це дає новий вектор, що спрямований від голови другого до голови першого.

Множення вектора на скаляр

Множення вектора на число (скаляр) розтягує або змінює напрямок вектора:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Якщо k>1k > 1, вектор розтягується у тому ж напрямку;
  • Якщо 0<k<10 < k < 1, вектор стискається;
  • Якщо k<0k < 0, напрямок змінюється на протилежний;
  • Якщо k=0k = 0, вектор стає нульовим.

Модуль (довжина) вектора

Модуль або довжина вектора обчислюється за допомогою теореми Піфагора:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Це дає відстань по прямій від початку координат до кінця вектора.

Скалярний добуток

Скалярний добуток поєднує два вектори в одне число, що відображає ступінь їхньої спрямованості:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Якщо результат додатній: вектори спрямовані подібно;
  • Якщо результат нульовий: вектори перпендикулярні;
  • Якщо результат від’ємний: вектори спрямовані у протилежні сторони.

Приклад

Якщо a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), тоді:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Якщо a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Тоді їхній скалярний добуток дорівнює:

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 1

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookВступ до Векторів

Свайпніть щоб показати меню

Note
Визначення

Вектор — це математичний об'єкт, який визначає як напрямок, так і величину у просторі. У науці про дані вектори використовуються для опису точок даних, ознак і параметрів моделей, таких як ваги.

Що таке вектор?

Вектор — це впорядкована пара чисел, яка має як величину, так і напрямок.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Вектори часто зображаються як стрілки від початку координат до певної точки у просторі. Два вектори вважаються рівними, якщо вони мають однаковий напрямок і довжину, навіть якщо починаються з різних точок.

Нульовий вектор

Нульовий вектор не має довжини та напрямку. Його записують так:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Додавання та віднімання векторів

Додавання

Щоб додати два вектори, додайте їх відповідні компоненти:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Візуалізувати це можна за допомогою:

  • Метод "від хвоста до голови": перемістіть хвіст одного вектора до голови іншого;
  • Метод паралелограма: обидва вектори починаються з однієї точки та утворюють паралелограм.

Віднімання

Щоб відняти один вектор від іншого:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Це дає новий вектор, що спрямований від голови другого до голови першого.

Множення вектора на скаляр

Множення вектора на число (скаляр) розтягує або змінює напрямок вектора:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Якщо k>1k > 1, вектор розтягується у тому ж напрямку;
  • Якщо 0<k<10 < k < 1, вектор стискається;
  • Якщо k<0k < 0, напрямок змінюється на протилежний;
  • Якщо k=0k = 0, вектор стає нульовим.

Модуль (довжина) вектора

Модуль або довжина вектора обчислюється за допомогою теореми Піфагора:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Це дає відстань по прямій від початку координат до кінця вектора.

Скалярний добуток

Скалярний добуток поєднує два вектори в одне число, що відображає ступінь їхньої спрямованості:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Якщо результат додатній: вектори спрямовані подібно;
  • Якщо результат нульовий: вектори перпендикулярні;
  • Якщо результат від’ємний: вектори спрямовані у протилежні сторони.

Приклад

Якщо a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), тоді:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Якщо a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Тоді їхній скалярний добуток дорівнює:

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 1
some-alt