Вивчайте Основи Розуміння Ймовірності | Ймовірність і Статистика

Визначення

Ймовірність — це міра ймовірності настання певної події. Вона кількісно визначає невизначеність і є важливою у таких галузях, як наука про дані, статистика та машинне навчання, допомагаючи аналізувати закономірності, робити прогнози та оцінювати ризики.

Базове визначення ймовірності

Ймовірність настання події $A$ визначається за формулою:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Ця формула показує, скільки способів може відбутися бажана подія порівняно з усіма можливими результатами. Ймовірність завжди знаходиться в межах від 0 (неможливо) до 1 (напевно).

Розуміння простору подій та подій

Простір подій — всі можливі результати експерименту;
Подія — конкретний результат або набір результатів, які нас цікавлять.

Приклад з підкиданням монети:

Простір подій = {Heads, Tails} ;
Подія A = {Heads} .

Тоді:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Правило об'єднання: «Відбувається A АБО B»

Визначення: об'єднання двох подій $A \cup B$ означає результати, коли відбувається або $A$ , або $B$ , або обидві події одночасно.

Формула:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Ми віднімаємо перетин, щоб уникнути подвійного підрахунку результатів, які належать до обох подій.

Приклад об'єднання: кидання грального кубика

Розглянемо кидання шестигранного кубика:

Подія A = {1, 2, 3} (випадає мале число)
Подія B = {2, 4, 6} (випадає парне число)

Об'єднання та перетин:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Покрокові обчислення:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Застосуємо формулу об'єднання:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Правило перетину: «Відбуваються і A, і B»

Визначення: перетин двох подій $A \cap B$ означає результати, коли одночасно відбуваються і $A$ , і $B$ .

Загальна формула

У всіх випадках:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

де $P(B|A)$ — це умовна ймовірність події $B$ за умови, що вже відбулася подія $A$ .

Випадок 1: Незалежні події

Якщо події не впливають одна на одну (наприклад, підкидання монети та кидання грального кубика):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Приклад:

$P(\text{Герб на монеті}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 на кубику}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Випадок 2: Залежні події

Якщо результат першої події впливає на другу (наприклад, витягування карт без повернення):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Приклад:

$P(\text{перша карта — туз}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{друга карта — туз | перша карта була тузом}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 1

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Свайпніть щоб показати меню

Визначення

Базове визначення ймовірності

Ймовірність настання події $A$ визначається за формулою:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Розуміння простору подій та подій

Простір подій — всі можливі результати експерименту;
Подія — конкретний результат або набір результатів, які нас цікавлять.

Приклад з підкиданням монети:

Простір подій = {Heads, Tails} ;
Подія A = {Heads} .

Тоді:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Правило об'єднання: «Відбувається A АБО B»

Формула:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Ми віднімаємо перетин, щоб уникнути подвійного підрахунку результатів, які належать до обох подій.

Приклад об'єднання: кидання грального кубика

Розглянемо кидання шестигранного кубика:

Подія A = {1, 2, 3} (випадає мале число)
Подія B = {2, 4, 6} (випадає парне число)

Об'єднання та перетин:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Покрокові обчислення:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Застосуємо формулу об'єднання:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Правило перетину: «Відбуваються і A, і B»

Визначення: перетин двох подій $A \cap B$ означає результати, коли одночасно відбуваються і $A$ , і $B$ .

Загальна формула

У всіх випадках:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

де $P(B|A)$ — це умовна ймовірність події $B$ за умови, що вже відбулася подія $A$ .

Випадок 1: Незалежні події

Якщо події не впливають одна на одну (наприклад, підкидання монети та кидання грального кубика):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Приклад:

$P(\text{Герб на монеті}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 на кубику}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Випадок 2: Залежні події

Якщо результат першої події впливає на другу (наприклад, витягування карт без повернення):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Приклад:

$P(\text{перша карта — туз}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{друга карта — туз | перша карта була тузом}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 1