Implementação da Decomposição de Matrizes em Python
Técnicas de Decomposição de Matrizes são ferramentas essenciais na álgebra linear numérica, fundamentais para soluções de sistemas de equações, análise de estabilidade e inversão de matrizes.
Realização da Decomposição LU
Decomposição LU divide uma matriz em:
L: triangular inferior;U: triangular superior;P: matriz de permutação para considerar trocas de linhas.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import lu # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[6, 3], [4, 3]]) # Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U P, L, U = lu(A) # Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')
Por que isso é importante: A decomposição LU é amplamente utilizada em métodos numéricos para resolver sistemas lineares e inverter matrizes de forma eficiente.
Realizando a Decomposição QR
A decomposição QR fatoriza uma matriz em:
Q: Matriz ortogonal (preserva ângulos/comprimentos);R: Matriz triangular superior.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import qr # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[4, 3], [6, 3]]) # Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular) Q, R = qr(A) # Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')
Por que isso é importante: QR é comumente utilizado para resolver problemas de mínimos quadrados e é mais estável numericamente do que LU em alguns cenários.
1. Qual é o papel da matriz de permutação P na decomposição LU?
2. Suponha que seja necessário resolver o sistema A⋅x=b utilizando decomposição QR. Qual ajuste de código seria necessário?
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Realização da Decomposição LU
Decomposição LU divide uma matriz em:
L: triangular inferior;U: triangular superior;P: matriz de permutação para considerar trocas de linhas.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import lu # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[6, 3], [4, 3]]) # Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U P, L, U = lu(A) # Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')
Por que isso é importante: A decomposição LU é amplamente utilizada em métodos numéricos para resolver sistemas lineares e inverter matrizes de forma eficiente.
Realizando a Decomposição QR
A decomposição QR fatoriza uma matriz em:
Q: Matriz ortogonal (preserva ângulos/comprimentos);R: Matriz triangular superior.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import qr # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[4, 3], [6, 3]]) # Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular) Q, R = qr(A) # Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')
Por que isso é importante: QR é comumente utilizado para resolver problemas de mínimos quadrados e é mais estável numericamente do que LU em alguns cenários.
1. Qual é o papel da matriz de permutação P na decomposição LU?
2. Suponha que seja necessário resolver o sistema A⋅x=b utilizando decomposição QR. Qual ajuste de código seria necessário?
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