Lære Implementering av Grenser i Python

Før du utforsker hvordan grenser oppfører seg visuelt, må du vite hvordan du beregner dem direkte ved hjelp av sympy-biblioteket. Her er tre vanlige typer grenser du vil møte på.

1. Endelig grense

Dette eksemplet viser en funksjon som nærmer seg en spesifikk endelig verdi når $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Grense som ikke eksisterer

Her oppfører funksjonen seg forskjellig fra venstre og høyre side, så grensen eksisterer ikke.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Uendelig grense

Dette eksemplet viser en funksjon som nærmer seg null når (x) blir uendelig stor.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Disse korte kodestykkene viser hvordan sympy.limit() kan brukes til å beregne ulike typer grenser – endelige, udefinerte og uendelige – før de analyseres grafisk

Definere funksjonene

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: en enkel lineær funksjon der venstre- og høyregrense divergerer;
f_same: den klassiske inverse funksjonen, som nærmer seg samme grense fra begge sider;
f_special: en kjent grense i kalkulus, som er lik 1 når $x \to 0$ .

Håndtering av divisjon med null

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Funksjonen f_same = 1/x har et problem ved $x = 0$ (divisjon med null), så vi erstatter dette med NaN (Not a Number) for å unngå feil;
For f_special vet vi at $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , så vi setter manuelt $1$ når $x = 0$ .

Plotting av horisontale asymptoter

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Funksjonen 1/x har en horisontal asymptote ved $y = 0$ ;
Funksjonen sin(x)/x nærmer seg $y = 1$ , så vi legger til en stiplet rød linje for visuell tydelighet.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 3. Kapittel 2

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Sveip for å vise menyen