Lære Forståelse av Betinget Sannsynlighet og Bayes' Teorem

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet måler sjansen for at en hendelse inntreffer gitt at en annen hendelse allerede har skjedd.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

hvor:

$P(A \mid B)$ betyr "sannsynligheten for A gitt B";
$P(A \cap B)$ er sannsynligheten for at både A og B skjer;
$P(B)$ er sannsynligheten for at B skjer (må være > 0).

Eksempel 1: Betinget sannsynlighet — Vær og trafikk

Anta:

Hendelse A: "Jeg kommer for sent på jobb";
Hendelse B: "Det regner".

Gitt:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10 % sjanse for at det regner OG jeg kommer for sent);
$P(B) = 0.20$ (20 % sjanse for at det regner en hvilken som helst dag).

Da gjelder:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Tolkning:
Hvis det regner, er det 50 % sjanse for at jeg kommer for sent på jobb.

Bayes' teorem

Bayes' teorem hjelper oss å finne $P(A \mid B)$ når det er vanskelig å måle direkte, ved å relatere det til $P(B \mid A)$ .

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Trinnvis gjennomgang

Trinn 1: Forstå $P(A \mid B)$
Dette leses som «sannsynligheten for A gitt B».

Eksempel: Hvis A = «å ha en sykdom» og B = «tester positivt», så spør $P(A \mid B)$ :
Gitt en positiv test, hva er sannsynligheten for at personen faktisk har sykdommen?

Trinn 2: Teller = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = sannsynligheten for å teste positivt dersom du har sykdommen (testens sensitivitet);
$P(A)$ = a priori-sannsynligheten for A (sykdomsprevalens).

Trinn 3: Nevner = $P(B)$
Dette er den totale sannsynligheten for at B inntreffer (tester positivt), både fra sanne positive og falske positive.

Utvidet:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Hvor:

$P(B \mid \neg A)$ = falsk positiv-rate;
$P(\neg A)$ = sannsynligheten for ikke å ha sykdommen.

Bayes' teorem — Medisinsk test

Anta:

Hendelse A: "Å ha en sykdom";
Hendelse B: "Tester positivt".

Gitt:

Sykdomsprevalens: $P(A) = 0.01$ ;
Sensitivitet: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Falsk positiv-rate: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Steg 1: Beregn total sannsynlighet for å teste positivt

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Steg 2: Bruk Bayes' teorem

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Tolkning:
Selv om du tester positivt, er det bare omtrent 16,7 % sannsynlighet for at du faktisk har sykdommen — fordi sykdommen er sjelden og det finnes falske positiver.

Viktige punkter

Betinget sannsynlighet finner sannsynligheten for at A skjer gitt at vi vet at B har inntruffet;
Bayes' teorem snur betingede sannsynligheter, slik at vi kan oppdatere antakelser når direkte måling er vanskelig;
Begge konseptene er essensielle innen data science, maskinlæring, medisinsk testing og beslutningstaking.

Merk

Tenk på Bayes' teorem som: "Sannsynligheten for A gitt B er lik sannsynligheten for at B skjer hvis A er sann, multiplisert med hvor sannsynlig A er, delt på hvor sannsynlig B er totalt sett."

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 5. Kapittel 3

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Sveip for å vise menyen

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet måler sjansen for at en hendelse inntreffer gitt at en annen hendelse allerede har skjedd.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

hvor:

$P(A \mid B)$ betyr "sannsynligheten for A gitt B";
$P(A \cap B)$ er sannsynligheten for at både A og B skjer;
$P(B)$ er sannsynligheten for at B skjer (må være > 0).

Eksempel 1: Betinget sannsynlighet — Vær og trafikk

Anta:

Hendelse A: "Jeg kommer for sent på jobb";
Hendelse B: "Det regner".

Gitt:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10 % sjanse for at det regner OG jeg kommer for sent);
$P(B) = 0.20$ (20 % sjanse for at det regner en hvilken som helst dag).

Da gjelder:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Tolkning:
Hvis det regner, er det 50 % sjanse for at jeg kommer for sent på jobb.

Bayes' teorem

Bayes' teorem hjelper oss å finne $P(A \mid B)$ når det er vanskelig å måle direkte, ved å relatere det til $P(B \mid A)$ .

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Trinnvis gjennomgang

Trinn 1: Forstå $P(A \mid B)$
Dette leses som «sannsynligheten for A gitt B».

Eksempel: Hvis A = «å ha en sykdom» og B = «tester positivt», så spør $P(A \mid B)$ :
Gitt en positiv test, hva er sannsynligheten for at personen faktisk har sykdommen?

Trinn 2: Teller = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = sannsynligheten for å teste positivt dersom du har sykdommen (testens sensitivitet);
$P(A)$ = a priori-sannsynligheten for A (sykdomsprevalens).

Trinn 3: Nevner = $P(B)$
Dette er den totale sannsynligheten for at B inntreffer (tester positivt), både fra sanne positive og falske positive.

Utvidet:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Hvor:

$P(B \mid \neg A)$ = falsk positiv-rate;
$P(\neg A)$ = sannsynligheten for ikke å ha sykdommen.

Bayes' teorem — Medisinsk test

Anta:

Hendelse A: "Å ha en sykdom";
Hendelse B: "Tester positivt".

Gitt:

Sykdomsprevalens: $P(A) = 0.01$ ;
Sensitivitet: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Falsk positiv-rate: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Steg 1: Beregn total sannsynlighet for å teste positivt

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Steg 2: Bruk Bayes' teorem

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Tolkning:
Selv om du tester positivt, er det bare omtrent 16,7 % sannsynlighet for at du faktisk har sykdommen — fordi sykdommen er sjelden og det finnes falske positiver.

Viktige punkter

Betinget sannsynlighet finner sannsynligheten for at A skjer gitt at vi vet at B har inntruffet;
Bayes' teorem snur betingede sannsynligheter, slik at vi kan oppdatere antakelser når direkte måling er vanskelig;
Begge konseptene er essensielle innen data science, maskinlæring, medisinsk testing og beslutningstaking.

Merk

Tenk på Bayes' teorem som: "Sannsynligheten for A gitt B er lik sannsynligheten for at B skjer hvis A er sann, multiplisert med hvor sannsynlig A er, delt på hvor sannsynlig B er totalt sett."

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 5. Kapittel 3