Pythonによる極限の実装

リミットの挙動を視覚的に探る前に、sympyライブラリを使って直接計算する方法を理解する必要があります。 ここでは、よく遭遇する3種類のリミットを紹介します。

1. 有限リミット

この例は、$x \to 2$のときに特定の有限値に近づく関数を示しています。

2. 存在しないリミット

この場合、関数は左側と右側で異なる挙動を示すため、リミットは存在しません。

3. 無限大の極限

この例は、(x) が無限大に大きくなるとき、関数がゼロに近づくことを示しています。

これらの短いスニペットは、sympy.limit() を使用して有限、不定、無限のさまざまなタイプの極限を計算する方法を示し、その後グラフで解析する流れを説明しています。

関数の定義

f_diff = (2 - x)  # Approaches +∞ as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

• f_diff: 左極限と右極限が異なる単純な線形関数；
• f_same: 両側から同じ極限値に近づく古典的な逆数関数；
• f_special: 微積分でよく知られる極限で、$x \to 0$ のとき 1 となる関数。

0による除算の処理

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

• 関数 f_same = 1/x は $x = 0$ でゼロ除算の問題が発生するため、エラー回避のためにその値を NaN（非数）に置き換えます；
• f_special については、$\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ であることが知られているため、$x = 0$ のとき手動で $1$ を代入します。

水平漸近線のプロット

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

• 関数 1/x は $y = 0$ に水平漸近線を持つ；
• 関数 sin(x)/x は $y = 1$ に近づくため、視覚的に分かりやすくするために赤の破線を追加する。