Summary  
This chapter explains the concept of limits, covering one- and two-sided limits, methods for evaluating them (direct substitution, factoring and canceling, rationalization, special limits), and the common failure cases (jump discontinuities, infinite limits, oscillations).

General domain of usage  
Calculus

**極限**は、関数の入力が特定の点に近づくときに関数が近づく値を表す、微積分における基本的な概念。極限は導関数や積分の定義の基礎となり、数理解析や機械学習の最適化において不可欠な要素。

定義

## 形式的定義と記法
極限は、入力がある点に限りなく近づくときに関数が近づく値を表す。

$$
\lim_{x \rarr a}f(x) = L
$$

これは、$$x$$ が $$a$$ に限りなく近づくとき、$$f(x)$$ が $$L$$ に近づくことを意味する。

関数は $$x=a$$ で定義されていなくても、極限は存在する場合がある。

注意

## 片側極限と両側極限
極限はどちらの側からも近づくことが可能：
- **左側極限**：
$$a$$ より小さい値から $$a$$ に近づく場合：
$$
  \lim_{x \rarr a^-}f(x)
$$
- **右側極限**：$$a$$ より大きい値から $$a$$ に近づく場合：
$$
\lim_{x \rarr a^+}f(x)
$$
- 極限が存在するのは、**両方の片側極限が等しい場合のみ**：
$$
  \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)
$$
   


## 極限が存在しない場合
極限が**存在しない**のは次のような場合：
- **跳躍不連続**：
$$
  \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
$$
  - **例**：左側と右側の極限が異なるステップ関数。
- **無限大の極限**：
$$
\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
$$
  - 関数が無限に発散する場合。
- **発散的な振動**：
$$
\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
$$
  - 関数が一定の値に収束せず、無限に振動する場合。



## 特殊な場合 – 無限大における極限
$$x$$ が無限大に近づくとき、関数の**終端挙動**を解析：
- **有理関数**：
$$
\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
$$
- **多項式の増加**：
$$
\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
$$
- **主要項の法則**：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
$$



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極限の導入

形式的定義と記法

片側極限と両側極限

極限が存在しない場合

特殊な場合 – 無限大における極限