Summary  
This chapter explains how to find antiderivatives using the power, exponential, and trigonometric integration rules and how to evaluate definite integrals to compute the area under a curve.

General domain of usage  
Scientific computing

**積分**は、微積分における基本的な概念であり、曲線の下の面積のような量の総和を表すもの。
データサイエンスでは、確率分布、累積値、最適化の計算に不可欠。

定義

## 基本的な積分
べき関数の基本的な積分は次の規則に従う：

$$
\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C
$$
 
ここで：
- $$C$$ は定数；
- $$n \neq -1$$；
- $$...+C$$ は積分定数（任意定数）を表す。

**重要な考え方**：微分が $$x$$ の次数を減らす場合、積分はそれを増やす。

## よく使われる積分の公式

### べき乗則（積分）
この規則は任意の多項式式の積分に役立つ：

$$
\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1
$$

例えば、$$n = 2$$ の場合：
$$
\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C
$$


### 指数関数の積分公式
指数関数 $$e^x$$ の積分は特別で、積分後も同じ形を保つ:

$$
\int e^x dx = e^x + C
$$

ただし、指数部分に係数がある場合は別の公式を用いる:

$$
\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0
$$

例えば、$$a = 2$$ の場合:

$$
\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C
$$
 


### 三角関数の積分
正弦関数と余弦関数にも基本的な積分公式がある:

$$
\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C
$$
 


## 定積分

任意定数 $$C$$ を含む不定積分と異なり、定積分は関数を**2つの範囲** $$a$$ から $$b$$ で評価する:

$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$

ここで $$F(x)$$ は $$f(x)$$ の**原始関数**。

例えば、$$f(x) = 2x$$、$$a = 0$$、$$b = 2$$ の場合:

$$
\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4
$$
 
これは、$$y = 2x$$ の曲線下、$$x=0$$ から $$x=2$$ までの**面積**が $$4$$ であることを示す。


次の積分を計算してください：
$$
\int 3x^2 dx
$$

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積分の導入

基本的な積分

よく使われる積分の公式

べき乗則（積分）

指数関数の積分公式

三角関数の積分

定積分