Summary  
This chapter explains how to compute partial derivatives of multivariable functions by holding all but one variable constant and applying differentiation rules (e.g., power rule and product rule).  

General domain of usage  
Machine learning (e.g., gradient-based optimization)

**偏微分**は、多変数関数が他のすべての変数を一定に保ったまま、1つの変数に関してどのように変化するかを測定する指標。多変数システム内の単一の次元に沿った変化率を捉える。

定義

## 偏微分とは何か
**偏微分**は、通常の微分で使う $$d$$ の代わりに記号 $$\partial$$ を用いて表記される。関数 $$f(x,y)$$ が $$x$$ と $$y$$ の両方に依存する場合、次のように計算する：
 
$$
\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] 

\frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
$$

ある変数で微分する際、他のすべての変数は定数として扱う。

注意

## 偏微分の計算

次の関数を考える：

$$
f(x,y) = x^2y + 3y^2
$$
 
まず、$$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}$$ を求める：

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
$$

- $$x$$ について微分し、$$y$$ は**定数**として扱う。

次に、$$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}$$ を**計算**する：

$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
$$

- $$y$$ について微分し、$$x$$ は**定数**として扱う。

次の関数を考える：

$$
f(x,y) = 4x^3y + 5y^2
$$

このとき、$$y$$ についての偏微分を計算せよ。


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偏導関数の導入

偏微分とは何か

偏微分の計算