Summary  
This chapter shows how to use Python’s SymPy library to define symbolic multivariable functions, compute their partial derivatives with respect to each variable, evaluate those derivatives at given points, and printing the results.

General domain of usage  
Optimization

このビデオでは、Python を用いて多変数関数の**偏微分**を計算する方法を学習します。偏微分は、**最適化、機械学習、データサイエンス**において、他の変数を一定に保ちながら、ある変数に関して関数がどのように変化するかを分析するために不可欠です。


## 1. 多変数関数の定義
```
x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2
```
- ここでは、$$x$$ と $$y$$ を記号変数として定義；
- 次に、関数 $$f(x, y) = 4x^3y + 5y^2$$ を定義。


## 2. 偏微分の計算
```
df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)  
```
- `sp.diff(f, x)` は $$y$$ を定数として扱いながら $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}$$ を計算；
- `sp.diff(f, y)` は $$x$$ を定数として扱いながら $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}$$ を計算。


## 3. 偏導関数の (x=1, y=2) での評価
```
df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})
```
- `.subs({x: 1, y: 2})` 関数は、計算された導関数に対して $$x=1$$ および $$y=2$$ を代入;
- これにより、特定の点で導関数を**数値的に評価**可能。


## 4. 結果の出力

**元の関数**、その**偏導関数**、および $$(1,2)$$ での**評価値**を出力。

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2

df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)

df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})

print("Function: f(x, y) =", f)
print("∂f/∂x =", df_dx)
print("∂f/∂y =", df_dy)
print("∂f/∂x at (1,2) =", df_dx_val)
print("∂f/∂y at (1,2) =", df_dy_val)

与えられた関数に対して、`sp.diff(f, y)` は何を返しますか？

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Pythonによる偏微分の実装

1. 多変数関数の定義

2. 偏微分の計算

3. 偏導関数の (x=1, y=2) での評価

4. 結果の出力