Summary  
This chapter demonstrates how to define a matrix in Python, compute its eigenvalues and eigenvectors using numpy’s eig function, and validate each eigenpair by checking that A @ v equals λ * v.  

General domain of usage  
Scientific computing

## 固有値と固有ベクトルの計算

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Print eigenvalues and eigenvectors
print(f'Eigenvalues:\n{eigenvalues}')
print(f'Eigenvectors:\n{eigenvectors}')

`eig()` ライブラリの `numpy` は、次の方程式の解を計算。

$$
A v = \lambda v
$$

* `eigenvalues`: 固有ベクトルをスケーリングするスカラー $$\lambda$$ のリスト
* `eigenvectors`: 列ベクトルで表される $$v$$（変換で方向が変わらないベクトル）

## 各ペアの検証（重要なステップ）

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Verify that A @ v = λ * v for each eigenpair
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(f'Pair {i + 1}:')
    λ = eigenvalues[i]
    v = eigenvectors[:, i].reshape(-1, 1)
    print(f'A * v:\n{A @ v}')
    print(f'lambda * v:\n{λ * v}')

これは次を確認するものです：

$$
A v = \lambda v
$$

両辺がほぼ一致していれば、正しいことが確認できます。これにより、理論的性質を数値的に検証します。

`np.linalg.eig(A)` は何を返しますか？

データサイエンスに不可欠な数学的基礎を習得します。関数、微積分、線形代数、確率、次元削減の主要な概念を探求します。理論的理解と実践的なコーディング経験の両方を構築し、データ分析、複雑なシステムのモデリング、機械学習における高度な手法の適用能力を強化します。

数学関数の基礎を探求します。さまざまな種類の代数関数および超越関数、その性質、およびそれらをPythonで実装して実世界の問題を解決する方法について学びます。

集合と級数の概念を基礎的な操作から実践的な応用まで習得します。Pythonで集合演算を実装し、等差数列および等比数列を扱う実践的な経験を得られます。

極限、導関数、積分、偏導関数についての確かな理解を身につけます。これらの概念をPythonで実装し、勾配降下法による最適化への応用を通じて理論と実践を結びつけます。

ベクトル、行列、変換に関する強固な知識の構築。分解法および固有値解析の学習。Pythonによるコーディング課題や実践的なデータサイエンス応用を通じた概念の強化。

確率論と統計学を深く学びます。条件付き確率、ベイズの定理、統計的指標を学習します。Pythonで主要な概念を実装し、分布をシミュレーションし、課題やクイズを通じてスキルを強化します。

Pythonによる固有ベクトルと固有値の実装

固有値と固有ベクトルの計算

各ペアの検証（重要なステップ）