Summary  
This chapter demonstrates how to decompose a matrix into lower and upper triangular factors (LU) and into orthogonal and upper triangular factors (QR) using Python libraries, then verifies each decomposition by reconstructing the original matrix.

General domain of usage  
Numerical linear algebra

行列分解手法は数値線形代数における重要なツールであり、連立方程式の解法、安定性解析、行列の逆行列計算などに利用される。

## LU分解の実行

**LU分解**は行列を次のように分割する：

* `L`: 下三角行列
* `U`: 上三角行列
* `P`: 行の入れ替えを考慮するための置換行列

import numpy as np
from scipy.linalg import lu

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[6, 3],
              [4, 3]])

# Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U
P, L, U = lu(A)

# Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U
print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')

**重要性**：LU分解は、線形方程式系の解法や行列の逆行列計算など、数値計算手法で広く利用されている。

## QR分解の実行

QR分解は行列を次のように分解する：

* `Q`：直交行列（角度や長さを保持）
* `R`：上三角行列

import numpy as np
from scipy.linalg import qr

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[4, 3],
              [6, 3]])

# Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular)
Q, R = qr(A)

# Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R
print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')

**重要性**：QR分解は最小二乗法の問題を解く際によく使用され、いくつかの状況ではLU分解よりも数値的に安定している。

LU分解における置換行列`P`の役割は何か？

**QR分解**を用いて連立方程式$$A·x = b$$を解く必要がある場合、どのようなコード修正が必要か？

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Pythonによる行列分解の実装

LU分解の実行

QR分解の実行

1. LU分解における置換行列`P`の役割は何か？

2. QR分解を用いて連立方程式 $A·x = b$ を解く必要がある場合、どのようなコード修正が必要か？

Pythonによる行列分解の実装

LU分解の実行

QR分解の実行

1. LU分解における置換行列Pの役割は何か？

2. QR分解を用いて連立方程式A⋅x=bA·x = bA⋅x=bを解く必要がある場合、どのようなコード修正が必要か？

1. LU分解における置換行列`P`の役割は何か？

2. QR分解を用いて連立方程式 $A·x = b$ を解く必要がある場合、どのようなコード修正が必要か？