学ぶ Pythonによる行列変換の実装

メニューを表示するにはスワイプしてください

線形方程式系の解法

次の連立方程式を定義する：

2x + y = 5 \\ x - y = 1

これは次のように書き換えられる：


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

これは、両方の方程式を満たす $x$ と $y$ の値を求める。

重要性：連立方程式の解法はデータサイエンスの基礎であり、線形モデルのフィッティングや最適化制約の解決などに利用される。

線形変換の適用

ベクトルを定義します:

v = np.array([[2], [3]])

次に2つの変換を適用します:

スケーリング

$x$ を2倍に拡大し、 $y$ を0.5倍に圧縮します:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

この操作は次のようになります:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

回転

回転行列を用いてベクトルを $90°$ 反時計回りに回転させます:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

この結果は次の通りです:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

変換の可視化

matplotlib を使用して、各ベクトルを原点から描画し、その座標にラベルを付けます:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

重要性: データサイエンスのワークフローでは、しばしば以下のような変換が含まれます。

主成分分析 - データの回転
特徴量の正規化 - 軸のスケーリング
次元削減 - 射影

ベクトルとその変換を可視化することで、行列がどのようにデータを空間内で移動・変形させるかを理解できます。

すべて明確でしたか？

フィードバックありがとうございます！

セクション 4. 章 6

AIに質問する

何でも質問するか、提案された質問の1つを試してチャットを始めてください

セクション 4. 章 6