学ぶ行列演算 | 線形代数の基礎

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定義

行列は、数値を行と列に並べた長方形の配列であり、数学的な問題を効率的に表現・解決するために使用される。

線形方程式系（例えば $A\vec{x} = \vec{b}$ ）に入る前に、行列がどのように振る舞うか、またどのような演算が可能かを理解することが重要である。

行列の加算

2つの行列は、形（行数と列数）が同じ場合にのみ加算できる。

次のようにする：

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

このとき：

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

行列はスカラー（単一の数値）で掛けることも可能。

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

行列の積は行と列による演算であり、要素ごとの演算ではない。

規則：行列 $A$ の形状が $(m \times n)$ 、行列 $B$ の形状が $(n \times p)$ の場合：

例：

次のようにする：

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ は $(2 \times 2)$ 、 $B$ は $(2 \times 1)$ なので、 $AB$ は有効で、結果は $(2 \times 1)$ の行列：

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

行列の転置は、行と列を入れ替える操作。 $A^T$ で表す。

次のようにする：

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

このとき：

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

性質：

次の場合：

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

行列式は次の通り：

\det(A) = ad - bc

次の場合：

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

行列式は次の通り：

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

この方法は余因子展開と呼ばれる。

正方行列 $A$ の逆行列は $A^{-1}$ と表される。これは $A \cdot A^{-1} = I$ を満たし、 $I$ は単位行列。

逆行列を持つのは、行列式がゼロでない正方行列のみ。

例：

行列 A が次の場合：

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

その逆行列 $A^{-1}$ は次の通り：

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

ここで $\det(A) \neq 0$ 。

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