Summary  
This chapter introduces the vector data type and demonstrates how to represent 2D vectors and perform operations on them—addition, subtraction, scalar multiplication, magnitude calculation, and the dot product.

General domain of usage  
Computer graphics

**ベクトル**は、空間における方向と大きさの両方を表す数学的対象。データサイエンスでは、ベクトルはデータポイント、特徴量、重みなどのモデルパラメータを記述するために使用。

定義

## ベクトルとは？

ベクトルは、**大きさ**と**方向**の両方を持つ数の順序対。

$$
\vec{v} = (x,y)
$$

ベクトルは、原点から空間内の点への矢印として描かれることが多い。同じ方向と長さを持つベクトルは、開始位置が異なっていても等しいとみなされる。



## ゼロベクトル

ゼロベクトルは長さも方向も持たない。

$$
\vec{0} = (0, 0)
$$


## ベクトルの加算と減算

### 加算
2つのベクトルを加算するには、それぞれの成分を加算：

$$
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)
$$

次の方法で視覚化可能：
- **ヘッド・トゥ・テイル法**：一方のベクトルの始点を他方の終点に移動する方法
- **平行四辺形法**：両方のベクトルを同じ点から始め、平行四辺形を形成する方法



### 減算
一方のベクトルからもう一方を減算するには：

$$
\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)
$$

この操作により、2番目のベクトルの終点から1番目のベクトルの終点へ向かう新しいベクトルが得られる。

## スカラー倍

ベクトルに数値（スカラー）を掛けると、ベクトルが伸びたり反転したりする：

$$
k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
$$

- $$k > 1$$ の場合、ベクトルは同じ方向に伸びる  
- $$0 < k < 1$$ の場合、ベクトルは縮む
- $$k < 0$$ の場合、方向が反転する
- $$k = 0$$ の場合、ゼロベクトルになる

## ベクトルの大きさ（長さ）

ベクトルの大きさまたは長さは、**ピタゴラスの定理**を用いて計算されます：

$$
|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
$$

これは、原点からベクトルの先端までの直線距離を示します。

## ドット積

**ドット積**は、2つのベクトルを1つの数値にまとめ、それらがどれだけ同じ方向を向いているかを示します：

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
$$

- 結果が**正**の場合：ベクトルは似た方向を向いている
- 結果が**ゼロ**の場合：ベクトルは直交している
- 結果が**負**の場合：ベクトルは反対方向を向いている  

### 例
$$ \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4)$$ のとき：

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
$$

$$\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1)$$ のとき、これらのドット積はどれですか？

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ベクトルの導入

ベクトルとは？

ゼロベクトル

ベクトルの加算と減算

加算

減算

スカラー倍

ベクトルの大きさ（長さ）

ドット積

例