チャレンジ：LU分解による連立一次方程式の解法

学生は、フローのバランスが線形方程式系として表現できる単純なネットワークを解析しています:

ここで:

• $A$ は $3 \times 3$ の係数行列です。
• $\vec{b}$ は既知の量のベクトルです。
• $\vec{x}$ は求めるべき未知数のベクトルです。

目標は、行列 $A$ のLU分解を行い、その後に前進代入および後退代入を実施して $\vec{x}$ を求めることです。最後に、計算した結果をNumPyの組み込みソルバーと比較し、正確性を確認します。

課題:

1. Pythonコードを完成させてください:

• $L$ および $U$ の不足している式を埋めてLU分解を実行します。
• 前進代入を実装して $L\vec{y} = \vec{b}$ を解きます。
• 後退代入を実装して $U\vec{x} = \vec{y}$ を解きます。

2. 結果を np.linalg.solve() と比較し、正確性を検証します。