固有ベクトルと固有値のイントロダクション

固有ベクトルと固有値とは

固有ベクトルは、行列が作用したときに大きさのみが変化し、方向が変わらないゼロでないベクトル。 対応するスカラー値が固有値。

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

ここで：

• $A$ は正方行列；
• $\lambda$ は固有値；
• $\vec{v}$ は固有ベクトル。

行列の例と設定

次のように仮定：

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

$\lambda$ の値と $\vec{v}$ のベクトルを求める：

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

固有方程式

$\lambda$ を求めるには、固有方程式を解く：

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

代入：

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

行列式の計算：

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

解：

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

固有ベクトルの求め方

それぞれの $\lambda$ について解く。

$\lambda = 5$ の場合：

減算：

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

解：

$$v_1 = v_2$$

したがって：

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$\lambda = 2$ の場合：

減算：

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

解：

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

したがって：

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

固有対の確認

固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\vec{v}$ を求めたら、次の式を確認：

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

例：

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

例：

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

も $\lambda = 5$ の固有ベクトルです。

対角化（発展）

行列 $A$ が $n$ 個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合、対角化が可能：

$$A = PDP^{-1}$$

ここで：

• $P$ は固有ベクトルを列に持つ行列
• $D$ は固有値を対角成分に持つ対角行列
• $P^{-1}$ は $P$ の逆行列

$A = PDP^{-1}$ を確認することで対角化を検証可能
この性質は $A$ の累乗計算に有用：

例

次のようにする：

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

固有値を求める：

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

解くと：

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

固有ベクトルを求める：

$\lambda = 3$ の場合：

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$\lambda = 2$ の場合：

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$P, D, P^{-1}$ を構成：

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

計算：

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

確認済み。

重要性：

$A$ の累乗 $A^k$ を計算する際に有用。$D$ が対角行列であるため：

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

これにより行列の累乗計算が大幅に高速化される。

重要なポイント

• 固有値と固有ベクトルは変換後も方向が変わらないベクトルとその伸縮率
• $\lambda$ は $\vec{v}$ を伸縮させる
• $\lambda = 1$ の場合、$\vec{v}$ の大きさは変化しない