Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.学ぶ 行列変換の導入 | 線形代数の基礎
Pythonによるデータサイエンスのための数学

book行列変換の導入

メニューを表示するにはスワイプしてください

行列方程式

行列方程式は次のように表される：

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

ここで：

  • AA は係数行列
  • x⃗\vec{x} は変数ベクトル
  • b⃗\vec{b} は定数ベクトル

線形方程式系の行列表現

次の線形方程式系を考える：

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

これは次のように書き換えられる：

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

行列積の分解

行列とベクトルの積は線形結合を表す：

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

行列表現による例題システム

この連立方程式：

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

は次のように表現できる：

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

変換としての行列

行列は空間内のベクトルを変換する。

例：

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

この行列は、掛け算によって軸がどのように変換されるかを定義する。

行列による拡大縮小

ベクトルに拡大縮小を適用するには、次のようにする：

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

ここで：

  • sxs_x - x方向の拡大率
  • sys_y - y方向の拡大率

例： 点 (2, 3) を2倍に拡大：

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

このとき：

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

行列による回転

原点を中心にベクトルを角度θ\thetaだけ回転させる場合：

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

例: (2, 3) を90°回転：

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

このとき：

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

x軸に対する反射

反射行列：

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3)の場合：

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

シア変換（x方向のシア）

シア変換は、一方の軸を他方の軸に基づいてずらす操作。

x方向にシアする場合：

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

k=1.5k = 1.5、v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3)の場合：

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

恒等変換

単位行列は変換を行わない：

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

任意のベクトル v⃗\vec{v} に対して：

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

この連立方程式の行列表現はどれですか？

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

正しい答えを選んでください

すべて明確でしたか？

どのように改善できますか？

フィードバックありがとうございます！

セクション 4. 章 5

AIに質問する

expand

AIに質問する

ChatGPT

何でも質問するか、提案された質問の1つを試してチャットを始めてください

セクション 4. 章 5
some-alt