学ぶ Pythonにおける行列演算

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1. 加算と減算

同じ形状の2つの行列 $A$ と $B$ は加算可能。


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import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [5, 6]])
B = np.array([[3, 4],
              [7, 8]])

C = A + B  
print(f'C:\n{C}')    # C = [[4, 6], [12, 14]]

2. 乗算の規則

行列の乗算は要素ごとではない。

規則： $A$ の形状が $(n, m)$ 、 $B$ の形状が $(m, l)$ の場合、結果の形状は $(n, l)$ 。


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import numpy as np

# Example random matrix 3x2
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
print(f'A:\n{A}')

# Example random matrix 2x4 
B = np.array([[11, 12, 13, 14],
              [15, 16, 17, 18]])
print(f'B:\n{B}')

# product shape (3, 4)
product = np.dot(A, B)     
print(f'np.dot(A, B):\n{product}')

# or equivalently
product = A @ B
print(f'A @ B:\n{product}')

3. 転置

転置は行と列を入れ替える操作。

一般的な規則： $A$ が $(n \times m)$ の場合、 $A^T$ は $(m \times n)$ となる。


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import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

A_T = A.T  # Transpose of A
print(f'A_T:\n{A_T}')

4. 行列の逆行列

行列 $A$ は、次の条件を満たす場合に逆行列 $A^{-1}$ を持つ：

A \cdot A^{-1} = I

ここで、 $I$ は単位行列。

すべての行列が逆行列を持つわけではない。行列は正方行列かつフルランクである必要がある。


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import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

A_inv = np.linalg.inv(A)   # Inverse of A
print(f'A_inv:\n{A_inv}')

I = np.eye(2)              # Identity matrix 2x2
print(f'A x A_inv = I:\n{np.allclose(A @ A_inv, I)}')  # Check if product equals identity

このPythonコードの出力は何ですか？

正しい答えを選んでください

[[5 12]
 [21 32]]

[[19 22]
 [43 50]]

[[17 20]
 [39 46]]

[[6 8]
 [10 12]]

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