超越関数

種類と挙動

1. 指数関数

形:

• $a$: 振幅、曲線を垂直方向に拡大または縮小;
• $b$: 成長または減衰率、関数がどれだけ速く増加または減少するかを決定;
• $c$: 水平シフト、曲線を左右に移動;
• $d$: 垂直シフト、グラフを上下に移動。

挙動:

• $b > 0$ のとき急速に増加;
• $b < 0$ のときゼロに向かって減少;
• すべての $x$ で常に正;
• 点 $(c, a + d)$ を通過;
• 定義域: $(-\infty, \infty)$;
• 値域: $a > 0$ の場合 $(d, \infty)$、$a < 0$ の場合 $(-\infty, d)$。

使用例: 人口増加、放射性崩壊、複利計算のモデル化。

2. 対数関数

形:

• $a$: 振幅、曲線を垂直方向に拡大または縮小;
• $b$: 底、成長または減衰率を決定;
• $c$: 水平シフト、グラフを左右に移動;
• $d$: 垂直シフト、グラフを上下に移動。

挙動:

• $x > c$ の場合のみ定義;
• $x$ が増加するにつれてゆっくり増加;
• $x = c$ 付近で負の無限大に近づく;
• 点 $(c + 1, d)$ を通過;
• 定義域: $(c, \infty)$;
• 値域: $(-\infty, \infty)$。

使用例: pH、音の強さ、地震の規模など、乗法的変化を伴うデータの測定。

3. 三角関数

形式：

ここで、$\text{trig}$ は $\sin$、$\cos$、または $\tan$。

• $a$：振幅、波の高さを制御；
• $b$：周期数、1周期内の振動回数を定義；
• $c$：水平シフト、波を左右に移動；
• $d$：垂直シフト、グラフを上下に移動。

挙動：

• サインとコサイン：周期的に $-a + d$ から $a + d$ の間で振動；
• タンジェント：$\pi$ ごとに繰り返し、垂直漸近線は $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$ に存在；
• すべて定義域内で周期的かつ連続；
• 定義域と値域：
  • $\sin(x), \cos(x)$：定義域 $(-\infty, \infty)$、値域 $[d - a, d + a]$；
  • $\tan(x)$：定義域 $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$、値域 $(-\infty, \infty)$。

用途例： 信号処理、物理学、工学における周期や振動のモデリング。