代数関数

種類と性質

1. 恒等関数

形: $f(x) = x$

性質:

• 原点 $(0, 0)$ を通過;
• 傾き $m = 1$ の直線;
• すべての入力がそのまま出力に対応;
• 最大値・最小値なし;
• 定義域: $(-\infty, \infty)$;
• 値域: $(-\infty, \infty)$。

用途: 変化しないデータの表現や変換時の基準として使用。

2. 定数関数

形式： $f(x) = c$

特徴：

• $y = c$ における水平直線；
• すべての入力に対して出力は一定；
• 傾き：$m = 0$；
• 最大値・最小値なし；
• 定義域：$(-\infty, \infty)$；
• 値域：${c}$。

用途例： 基準値や定額料金などの固定量の表現。

3. 一次関数

形式： $f(x) = mx + b$

特徴：

• 傾き $m$ の直線；
• $m > 0$ の場合は増加、$m < 0$ の場合は減少；
• X切片：$x = -\frac{b}{m}$；
• Y切片：$y = b$；
• 最大値・最小値なし；
• 定義域：$(-\infty, \infty)$；
• 値域：$(-\infty, \infty)$。

用途例： 収益やコストなどの連続的な結果の予測。

4. 多項式関数（二次関数の例）

形式： $f(x) = ax^2 + bx + c$

特徴：

• 放物線（$a > 0$ の場合は上に凸、$a < 0$ の場合は下に凸）；
• 頂点：$x = -\frac{b}{2a}$；
• X切片（根）：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；
• Y切片：$f(0) = c$；
• 定義域：$(-\infty, \infty)$；
• 値域：
• $a > 0$ の場合、$[y_{vertex}; \infty)$；
  • $a < 0$ の場合、$(-\infty; y_{vertex}]$。

用途例： カーブフィッティング、回帰モデル、非線形傾向の記述。

5. 有理関数

形式： $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

例： $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

挙動：

• 垂直漸近線：$x = 1$
• 水平漸近線：$y = 0$
• $x = 1$ で定義されない
• 漸近線付近で急激な増減
• 定義域：$(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$
• 値域：$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$

用途例： 変化率や資源利用などの制約付きシステムのモデリング