確率の基本の理解

確率の基本定義

事象 $A$ が発生する確率は次の式で表される：

この式は、望ましい事象が発生する方法の数を、すべての可能な結果の数と比較して示す。確率は常に 0（不可能） から 1（確実） の範囲となる。

標本空間と事象の理解

• 標本空間 - 実験のすべての可能な結果
• 事象 - 注目する特定の結果または結果の集合

コイン投げの例：

• 標本空間 = {Heads, Tails} ;
• 事象A = {Heads} .

このとき：

和集合の法則：「AまたはBが起こる」

定義：2つの事象 $A \cup B$ の和集合は、$A$ が起こる場合、$B$ が起こる場合、または両方が起こる場合の結果を表す。

公式：

両方の事象に含まれる結果を二重計上しないよう、共通部分を差し引く。

和集合の例：サイコロを振る

6面サイコロを振る場合：

• 事象A = {1, 2, 3}（小さい数が出る）
• 事象B = {2, 4, 6}（偶数が出る）

和集合と共通部分：

• $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
• $A \cap B = \{2\}$

計算手順：

和集合の公式を適用：

共通部分の法則：「AかつBが同時に起こる」

定義：2つの事象 $A \cap B$ の共通部分は、$A$ と $B$ の両方が同時に起こる場合の結果を表す。

一般公式

すべての場合において：

ここで、$P(B|A)$ は $A$ がすでに起こったときの $B$ の条件付き確率。

ケース1：独立事象

事象同士が互いに影響しない場合（例：コインを投げることとサイコロを振ること）：

例：

• $P(\text{コインで表が出る}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$;
• $P(\text{サイコロで6が出る}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$。

したがって：

ケース2：従属事象

最初の事象の結果が2番目の事象に影響を与える場合（例：カードを戻さずに引く場合）：

例：

• $P(\text{最初のカードがエース}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$;
• $P(\text{2枚目のカードがエース | 1枚目がエースだった場合}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$。

したがって：