確率分布の理解

確率分布

確率分布は、さまざまな結果がどれだけ起こりやすいかを示すもの。 離散的な結果（例：「不良な棒の本数」）の場合、各可能な数に対して確率を列挙。 連続的な測定値（例：長さや重さ）の場合は、範囲全体にわたる密度で表現。

一般的な離散型と連続型の公式：

$$P(X \in A) = \sum_{x \in A}p(x)\quad(\text{discrete}) \\[6pt] P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad (continious)$$

例（簡単な確認）：ある工程で49.5～50.5cmのすべての長さが等しく出現する場合、0.4cmの範囲に棒が入る確率は、その範囲の幅を1.0cmで割った値（これが一様分布の考え方。下で詳しく説明）。

二項分布

二項分布は、独立した試行（例：100本の棒）の中で、成功（例：不良な棒）が出る回数をモデル化。各試行の成功確率は同じ。

公式：

$$P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$$

例：

それぞれ独立に不良となる確率 $p=0.02$ の棒が $n=100$ 本あるとき、ちょうど $k=3$ 本が不良となる確率は？

ステップ1 — 組み合わせの計算：

$$\begin{pmatrix}100 \\ 3\end{pmatrix} = \frac{100!}{3!97!} = 161700$$

ステップ2 — 累乗の計算：

$$p^3 = 0.02^3 = 0.000008 \\ (1-p)^{97} = 0.98^{97} \approx 0.1409059532$$

ステップ3 — すべてを掛け合わせる：

$$P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.1409059532 \approx 0.182275941$$

意味：100本中ちょうど3本が不良となる確率は約18.23%。3本の不良が出ても十分あり得る結果。

一様分布

一様分布は、区間 [a,b] 内のすべての値が等しい確率で現れる連続的な測定値をモデル化します（例：棒の長さの許容範囲）。

式：

$$f(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b$$

2点間の確率：

$$P(l \le X \le u) = \frac{u - l}{b - a}$$

例：

パラメータ: a=49.5, b=50.5。棒の長さ X が 49.8 から 50.2 の間にある確率は？ 範囲の幅を計算：

$$b-a = 50.5 - 49.5 = 1.0$$

部分区間を計算：

$$u - l = 50.2 - 49.8 = 0.4$$

確率：

$$P(49.8 \le X \le 50.2) = \frac{0.4}{1.0} = 0.4$$

解釈：ランダムに測定した棒がこの狭い許容範囲に収まる確率は 40% です。

正規分布

正規分布は、平均 $μ$ の周りに集まり、標準偏差 $σ$ で広がりを示す連続的な測定値を表します。多くの測定誤差や自然変動は、このベル型曲線に従います。

式：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

zスコアによる標準化：

$$z = \frac{x-\mu}{\sigma}$$

2つの値の間の確率は累積分布関数（CDF）や標準的な場合の対称性を利用します：

$$P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

ここで $\Phi$ は標準正規分布の累積分布関数です。

例 A：

パラメータ: $μ=200$, $σ=5$, $P(195≤X≤205)$ を求める。

zスコア：

$$z_1 = \frac{195 - 200}{5} = -1 \\[6pt] z_2 = \frac{205 - 200}{5} = 1$$

正規分布の対称性を利用すると、$−1$ から $+1$ 標準偏差の間の確率はよく知られた値：

$$P(195 \le X \le 205) \approx 0.6826894921$$

解釈：棒の重さのおよそ 68.27% が平均値の±1標準偏差以内に収まります。これは有名な「68%ルール」です。