Impara Implementazione dei Vettori in Python | Fondamenti di Algebra Lineare

Definizione di vettori in Python

In Python, si utilizzano gli array di NumPy per definire vettori 2D come segue:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

print(f'v1 = {v1}')
print(f'v2 = {v2}')

Questi rappresentano i vettori:

\vec{v}_1 = (2, 1), \quad \vec{v}_2 = (1, 3)

Questi possono ora essere sommati, sottratti o utilizzati per il prodotto scalare e il calcolo della magnitudine.

Somma di vettori

Per calcolare la somma di vettori:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

v3 = v1 + v2
print(f'v3 = v1 + v2 = {v3}')

Questo esegue:

(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

Questo corrisponde alla regola per la somma di vettori:

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Modulo (Lunghezza) di un Vettore

Per calcolare il modulo in Python:

np.linalg.norm(v)

Per il vettore [3, 4]:


              123
            
import numpy as np

print(np.linalg.norm([3, 4]))  # 5.0

Questo utilizza la formula:

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Prodotto scalare

Per calcolare il prodotto scalare:


              123
            
import numpy as np

print(np.dot([1, 2], [2, 3]))

Che restituisce:

[1, 2] \cdot [2, 3] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8

Regola generale del prodotto scalare:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Visualizzazione dei vettori con Matplotlib

È possibile utilizzare la funzione quiver() di Matplotlib per disegnare frecce che rappresentano i vettori e il loro risultante. Ogni freccia mostra la posizione, la direzione e la magnitudine di un vettore.

Blu: $\vec{v}_1$ , disegnato dall'origine;
Verde: $\vec{v}_2$ , che parte dalla punta di $\vec{v}_1$ ;
Rosso: vettore risultante, disegnato dall'origine fino alla punta finale.

Esempio:


              123456789101112131415161718
            
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

# v1
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# v2 (head-to-tail)
ax.quiver(2, 1, 1, 3, color='green', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# resultant
ax.quiver(0, 0, 3, 4, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.grid(True)
plt.title('Vector Addition (Head-to-Tail Method)')
plt.show()

Parametri (basati sulla prima chiamata a quiver):

ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

0, 0 – punto di partenza del vettore (origine);
2, 1 – componenti del vettore nelle direzioni x e y;
color='blue' – imposta il colore della freccia su blu;
angles='xy' – disegna la freccia utilizzando coordinate cartesiane (piano x–y);
scale_units='xy' – scala la freccia secondo le stesse unità degli assi;
scale=1 – mantiene la lunghezza reale della freccia (nessuna scala automatica).

Questo grafico mostra la somma vettoriale testa-coda, dove il vettore rosso rappresenta la somma $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ .

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 4. Capitolo 2

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Can you explain how vector subtraction works in Python?

How do I interpret the plot generated by the code?

Can you show how to calculate the angle between two vectors?

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