Tipi e comportamenti

1. Funzione esponenziale

Forma:

• $a$: ampiezza, scala la curva verticalmente;
• $b$: tasso di crescita o decrescita, definisce la rapidità con cui la funzione aumenta o diminuisce;
• $c$: traslazione orizzontale, sposta la curva a sinistra o a destra;
• $d$: traslazione verticale, sposta il grafico verso l'alto o il basso.

Comportamento:

• Aumenta rapidamente quando $b > 0$;
• Decresce verso zero quando $b < 0$;
• Sempre positiva per ogni $x$;
• Passa per il punto $(c, a + d)$;
• Dominio: $(-\infty, \infty)$;
• Codominio: $(d, \infty)$ se $a > 0$, oppure $(-\infty, d)$ se $a < 0$.

Applicazione: modellizzazione della crescita della popolazione, decadimento radioattivo e interesse composto.

2. Funzione logaritmica

Forma:

• $a$: ampiezza, estende o comprime verticalmente la curva;
• $b$: base, determina il tasso di crescita o decrescita;
• $c$: traslazione orizzontale, sposta il grafico a sinistra o a destra;
• $d$: traslazione verticale, sposta il grafico verso l'alto o il basso.

Comportamento:

• Definita solo per $x > c$;
• Aumenta lentamente all'aumentare di $x$;
• Si avvicina a meno infinito vicino a $x = c$;
• Passa per il punto $(c + 1, d)$;
• Dominio: $(c, \infty)$;
• Codominio: $(-\infty, \infty)$.

Applicazione: misurazione di dati con variazione moltiplicativa, come pH, intensità sonora o magnitudo dei terremoti.

3. Funzione Trigonometrica

Forma:

dove $\text{trig}$ può essere $\sin$, $\cos$ o $\tan$.

• $a$: ampiezza, controlla l'altezza dell'onda;
• $b$: cicli, definisce quante oscillazioni avvengono in un periodo;
• $c$: traslazione orizzontale, sposta l'onda a sinistra o a destra;
• $d$: traslazione verticale, sposta il grafico verso l'alto o il basso.

Comportamento:

• Seno e coseno: oscillano periodicamente tra $-a + d$ e $a + d$;
• Tangente: si ripete ogni $\pi$ e presenta asintoti verticali in $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Tutte sono periodiche e continue all'interno dei rispettivi domini;
• Dominio e codominio:
  • $\sin(x), \cos(x)$: dominio $(-\infty, \infty)$, codominio $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: dominio $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, codominio $(-\infty, \infty)$.

Caso d'uso: modellizzazione di cicli e oscillazioni nell'elaborazione dei segnali, fisica e ingegneria.