Impara Comprendere le Basi della Probabilità

Definizione

Probabilità è la misura della possibilità che un evento si verifichi. Quantifica l'incertezza ed è fondamentale in ambiti come data science, statistica e machine learning, aiutando ad analizzare schemi, fare previsioni e valutare i rischi.

Definizione di base della probabilità

La probabilità che si verifichi un evento $A$ è data da:

P(A) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti possibili}}

Questa formula indica in quanti modi può verificarsi l'evento desiderato rispetto a tutti gli esiti possibili. La probabilità varia sempre da 0 (impossibile) a 1 (certo).

Comprendere spazio campionario ed eventi

Spazio campionario - tutti gli esiti possibili di un esperimento;
Evento - un esito specifico o un insieme di esiti di interesse.

Esempio con il lancio di una moneta:

Spazio campionario = {Testa, Croce} ;
Evento A = {Testa} .

Quindi:

P(A) = \frac{P(\text{Testa})}{P(\text{Testa}) + P(\text{Croce})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Regola dell'Unione: "Si verifica A O B"

Definizione: l'unione di due eventi $A \cup B$ rappresenta gli esiti in cui si verifica $A$ , oppure si verifica $B$ , oppure si verificano entrambi.

Formula:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Si sottrae l'intersezione per evitare di contare due volte gli esiti che appartengono a entrambi gli eventi.

Esempio di Unione: Lancio di un Dado

Si lancia un dado a sei facce:

Evento A = {1, 2, 3} (ottenere un numero basso)
Evento B = {2, 4, 6} (ottenere un numero pari)

Unione e intersezione:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Calcoli passo dopo passo:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Applicazione della formula dell'unione:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Regola dell'Intersezione: "Si verificano sia A che B"

Definizione: l'intersezione di due eventi $A \cap B$ rappresenta gli esiti in cui si verificano contemporaneamente sia $A$ che $B$ .

Formula Generale

In tutti i casi:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

dove $P(B|A)$ è la probabilità condizionata che si verifichi $B$ dato che $A$ si è già verificato.

Caso 1: Eventi Indipendenti

Se gli eventi non si influenzano a vicenda (ad esempio, lanciare una moneta e tirare un dado):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esempio:

$P(\text{Testa su una moneta}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 su un dado}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Caso 2: Eventi Dipendenti

Se il risultato del primo evento influenza il secondo (ad esempio, estrarre carte senza reinserimento):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esempio:

$P(\text{la prima carta è un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{la seconda carta è un asso | la prima carta era un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 5. Capitolo 1

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Can you explain more about the difference between union and intersection in probability?

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Definizione di base della probabilità

La probabilità che si verifichi un evento $A$ è data da:

P(A) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti possibili}}

Questa formula indica in quanti modi può verificarsi l'evento desiderato rispetto a tutti gli esiti possibili. La probabilità varia sempre da 0 (impossibile) a 1 (certo).

Comprendere spazio campionario ed eventi

Spazio campionario - tutti gli esiti possibili di un esperimento;
Evento - un esito specifico o un insieme di esiti di interesse.

Esempio con il lancio di una moneta:

Spazio campionario = {Testa, Croce} ;
Evento A = {Testa} .

Quindi:

P(A) = \frac{P(\text{Testa})}{P(\text{Testa}) + P(\text{Croce})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Regola dell'Unione: "Si verifica A O B"

Definizione: l'unione di due eventi $A \cup B$ rappresenta gli esiti in cui si verifica $A$ , oppure si verifica $B$ , oppure si verificano entrambi.

Formula:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Si sottrae l'intersezione per evitare di contare due volte gli esiti che appartengono a entrambi gli eventi.

Esempio di Unione: Lancio di un Dado

Si lancia un dado a sei facce:

Evento A = {1, 2, 3} (ottenere un numero basso)
Evento B = {2, 4, 6} (ottenere un numero pari)

Unione e intersezione:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Calcoli passo dopo passo:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Applicazione della formula dell'unione:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Regola dell'Intersezione: "Si verificano sia A che B"

Definizione: l'intersezione di due eventi $A \cap B$ rappresenta gli esiti in cui si verificano contemporaneamente sia $A$ che $B$ .

Formula Generale

In tutti i casi:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

dove $P(B|A)$ è la probabilità condizionata che si verifichi $B$ dato che $A$ si è già verificato.

Caso 1: Eventi Indipendenti

Se gli eventi non si influenzano a vicenda (ad esempio, lanciare una moneta e tirare un dado):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esempio:

$P(\text{Testa su una moneta}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 su un dado}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Caso 2: Eventi Dipendenti

Se il risultato del primo evento influenza il secondo (ad esempio, estrarre carte senza reinserimento):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esempio:

$P(\text{la prima carta è un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{la seconda carta è un asso | la prima carta era un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

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