Apprendre Implémentation des Limites en Python

Avant d'explorer le comportement visuel des limites, il est nécessaire de savoir comment les calculer directement à l'aide de la bibliothèque sympy. Voici trois types courants de limites que vous rencontrerez.

1. Limite finie

Cet exemple présente une fonction qui tend vers une valeur finie spécifique lorsque $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Limite qui n'existe pas

Ici, la fonction présente un comportement différent à gauche et à droite, donc la limite n'existe pas.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Limite à l'infini

Cet exemple présente une fonction qui tend vers zéro lorsque (x) devient infiniment grand.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Ces courts extraits de code illustrent l'utilisation de sympy.limit() pour calculer différents types de limites : finies, indéfinies et infinies, avant de les analyser graphiquement

Définition des fonctions

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff : fonction linéaire simple où les limites à gauche et à droite divergent ;
f_same : fonction réciproque classique, tendant vers la même limite des deux côtés ;
f_special : limite bien connue en analyse, qui vaut 1 lorsque $x \to 0$ .

Gestion de la division par zéro

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

La fonction f_same = 1/x présente un problème en $x = 0$ (division par zéro), donc cette valeur est remplacée par NaN (Not a Number) pour éviter les erreurs ;
Pour f_special, on sait que $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , donc on attribue manuellement $1$ lorsque $x = 0$ .

Tracer les asymptotes horizontales

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

La fonction 1/x possède une asymptote horizontale en $y = 0$ ;
La fonction sin(x)/x tend vers $y = 1$ , donc une ligne rouge en pointillés est ajoutée pour une meilleure visibilité.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 3. Chapitre 2

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