Apprendre Opérations Matricielles en Python | Fondements de l'Algèbre Linéaire

1. Addition et soustraction

Deux matrices $A$ et $B$ de même dimension peuvent être additionnées :


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [5, 6]])
B = np.array([[3, 4],
              [7, 8]])

C = A + B  
print(f'C:\n{C}')    # C = [[4, 6], [12, 14]]

2. Règles de multiplication

La multiplication de matrices n'est pas élément par élément.

Règle : si $A$ a pour dimension $(n, m)$ et $B$ a pour dimension $(m, l)$ , alors le résultat a pour dimension $(n, l)$ .


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import numpy as np

# Example random matrix 3x2
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
print(f'A:\n{A}')

# Example random matrix 2x4 
B = np.array([[11, 12, 13, 14],
              [15, 16, 17, 18]])
print(f'B:\n{B}')

# product shape (3, 4)
product = np.dot(A, B)     
print(f'np.dot(A, B):\n{product}')

# or equivalently
product = A @ B
print(f'A @ B:\n{product}')

3. Transposée

La transposée échange les lignes et les colonnes.

Règle générale : si $A$ est $(n \times m)$ , alors $A^T$ est $(m \times n)$ .


              1234567
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

A_T = A.T  # Transpose of A
print(f'A_T:\n{A_T}')

4. Inverse d'une matrice

Une matrice $A$ possède une inverse $A^{-1}$ si :

A \cdot A^{-1} = I

Où $I$ est la matrice identité.

Toutes les matrices n'ont pas d'inverse. Une matrice doit être carrée et de rang complet.


              12345678910
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

A_inv = np.linalg.inv(A)   # Inverse of A
print(f'A_inv:\n{A_inv}')

I = np.eye(2)              # Identity matrix 2x2
print(f'A x A_inv = I:\n{np.allclose(A @ A_inv, I)}')  # Check if product equals identity

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[[5 12]
 [21 32]]

[[19 22]
 [43 50]]

[[17 20]
 [39 46]]

[[6 8]
 [10 12]]

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Section 4. Chapitre 4

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Can you explain why matrix multiplication is not element-wise?

How do I know if a matrix is full-rank?

What happens if I try to invert a non-square matrix?

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