Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Oppiskele Integraalien Perusteet | Matemaattinen Analyysi
Matematiikka Data-analytiikkaan

bookIntegraalien Perusteet

Note
Määritelmä

Integraatio on laskennan keskeinen käsite, joka kuvaa suureen kokonaiskertymää, kuten käyrän alapuolista pinta-alaa. Se on olennainen tieteenalalla, kuten data-analytiikassa, todennäköisyysjakaumien, kumulatiivisten arvojen ja optimoinnin laskemisessa.

Perusintegraali

Potenssifunktion perusintegraali noudattaa seuraavaa sääntöä:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Missä:

  • CC on vakio;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C tarkoittaa mielivaltaista integraalivakiota.

Keskeinen ajatus: jos derivointi pienentää xx:n astetta, integraatio kasvattaa sitä.

Yleiset integraalisäännöt

Potenssisääntö integraatiossa

Tämä sääntö auttaa integroimaan minkä tahansa polynomilausekkeen:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Esimerkiksi, jos n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Eksponenttisääntö

Eksponenttifunktion exe^x integraali on ainutlaatuinen, koska se pysyy samana integroinnin jälkeen:

∫exdx=ex+C\int e^xdx = e^x + C

Mutta jos eksponentissa on kerroin, käytetään toista sääntöä:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C,\ a \neq 0

Esimerkiksi, jos a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x}dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometriset integraalit

Sini- ja kosinifunktioilla on myös selkeät integrointisäännöt:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x)dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x)dx = sin(x) + C

Määrätyt integraalit

Toisin kuin määräämättömät integraalit, jotka sisältävät mielivaltaisen vakion CC, määrätyt integraalit arvioivat funktion kahden rajan aa ja bb välillä:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Missä F(x)F(x) on f(x)f(x):n alkufunktio.

Esimerkiksi, jos f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 ja b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Tämä tarkoittaa, että käyrän alle jäävä pinta-ala y=2xy = 2x välillä x=0x=0 ja x=2x=2 on 44.

question mark

Laske integraali:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 5

Kysy tekoälyä

expand

Kysy tekoälyä

ChatGPT

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain the difference between definite and indefinite integrals?

Can you show more examples of integrating trigonometric or exponential functions?

How do I know when to use the power rule versus other integration rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntegraalien Perusteet

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Note
Määritelmä

Integraatio on laskennan keskeinen käsite, joka kuvaa suureen kokonaiskertymää, kuten käyrän alapuolista pinta-alaa. Se on olennainen tieteenalalla, kuten data-analytiikassa, todennäköisyysjakaumien, kumulatiivisten arvojen ja optimoinnin laskemisessa.

Perusintegraali

Potenssifunktion perusintegraali noudattaa seuraavaa sääntöä:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Missä:

  • CC on vakio;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C tarkoittaa mielivaltaista integraalivakiota.

Keskeinen ajatus: jos derivointi pienentää xx:n astetta, integraatio kasvattaa sitä.

Yleiset integraalisäännöt

Potenssisääntö integraatiossa

Tämä sääntö auttaa integroimaan minkä tahansa polynomilausekkeen:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Esimerkiksi, jos n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Eksponenttisääntö

Eksponenttifunktion exe^x integraali on ainutlaatuinen, koska se pysyy samana integroinnin jälkeen:

∫exdx=ex+C\int e^xdx = e^x + C

Mutta jos eksponentissa on kerroin, käytetään toista sääntöä:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C,\ a \neq 0

Esimerkiksi, jos a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x}dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometriset integraalit

Sini- ja kosinifunktioilla on myös selkeät integrointisäännöt:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x)dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x)dx = sin(x) + C

Määrätyt integraalit

Toisin kuin määräämättömät integraalit, jotka sisältävät mielivaltaisen vakion CC, määrätyt integraalit arvioivat funktion kahden rajan aa ja bb välillä:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Missä F(x)F(x) on f(x)f(x):n alkufunktio.

Esimerkiksi, jos f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 ja b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Tämä tarkoittaa, että käyrän alle jäävä pinta-ala y=2xy = 2x välillä x=0x=0 ja x=2x=2 on 44.

question mark

Laske integraali:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 5
some-alt